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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 51

  1. Use a série binomial para expandir 1 / 1 - x 2
  2. Use a parte (a) para encontrar a série de Maclaurin de sen - 1 ⁡ x .

Passo 1

E aí, turma! Tudo bem?

A letra a) quer que a gente expanda a função f ( x ) usando a série binomial:

f x = 1 / 1 - x 2

Expandir uma função usando a série binomial significa expressar a função como uma soma infinita de termos desse tipo de série.

A série binominal é a expansão de 1 + x k , ficando assim:

1 + x k = 1 + k x + k k - 1 2 ! x 2 + k k - 1 ( k - 2 ) 3 ! x 3 + …

Outra notação também é:

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

No nosso caso temos:

f x = 1 1 - x 2

Então o que precisamos fazer aqui é expandir 1 / 1 - x 2   para encontrar a série de que representa a função f ( x ) .

A letra b) pede para usarmos a parte a) para encontrar a série de Maclaurin para f x = sen - 1 ⁡ x .

Sabemos que a soma de 1 + x k é igual a soma da série de Maclaurin de f ( x ) . Como temos uma série de polinômios que são funções de x numa série binomial, podemos encontrar essa soma usando a integral. Ou seja, vamos integrar:

∫ 1 - x 2 - 1 2 d x

Usando o fato de que 1 - x 2 - 1 2   é o resultado da derivada de sen - 1 ⁡ x e assim acharemos a série de Maclaurin para s e n - 1 x .

Vamos ao passo a passo!

Passo 2

(a) Podemos reescrever a fração para que ela fique mais parecida com o formato que temos para série binomial   1 + x k :

Usando a propriedade da radiciação: x m n = x m n  

1 1 - x 2 = 1 1 - x 2 1 2

Agora pela propriedade da potenciação:   a - n = 1 a n

1 1 - x 2 1 2 = 1 - x 2 - 1 2

Agora está no formato da série binomial que é da forma:

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Comparando 1 + x k com 1 - x 2 - 1 2 , vemos que:

k = - 1 2

E:

x = - x 2

Então, substituindo na forma geral da série binomial:

1 1 - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n - x 2 n

Multiplicando os expoentes, vamos ter por fim:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n x 2 n

Cujos termos serão da forma:

∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 2 n x 2 n = 1 + 1 2 x 2 + 3 8 x 4 + 5 16 x 6 + …

A série acima é nossa expansão binominal de f ( x ) .

Passo 3

(b) Bom, vamos partir da informação que:

sen - 1 ⁡ x ' = 1 1 - x 2 = 1 - x 2 - 1 2

Substituindo pela série binominal que encontramos na letra a):

sen - 1 ⁡ x ' = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n x 2 n

Como a soma da nossa série binomial é igual a soma da série de Maclaurin da função, vamos somar a série binomial calculando sua integral. Tá vendo a equação acima? Nós vamos integrar dos dois lados:

∫ sen - 1 ⁡ x ' = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n ∫ x 2 n

Nota que do lado esquerdo da equação estamos integrando a derivada de uma função. Basicamente, integrar uma função "desfaz" sua derivada e vice-versa, já que uma é a operação oposta de outra.

Então ficamos com:

sen - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n ∫ x 2 n d x

Resolvendo a integral:

sen - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n x 2 n + 1 2 n + 1

Resposta

(a)

1 1 - x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n x 2 n

(b)

sen - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n - 1 / 2 n x 2 n + 1 2 n + 1

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