Dada z = f(x^2 + y^2) , f diferenciável, mostrar que

y (∂z/∂x) - x (∂z/∂y) = 0

Passo 1

Bom, pessoal, vamos começar fazendo o seguinte: vamos chamar x 2 + y 2 = u . Assim, temos

z = f ( u )

Vamos agora derivar para encontrar as derivadas parciais:

∂ z ∂ x = ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x

∂ z ∂ x = 2 x ∂ f ∂ u

Derivando em relação a y , temos:

∂ z ∂ y = ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y

∂ z ∂ y = 2 y ∂ f ∂ u  

Nós queremos validar a expressão dada no enunciado, y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0 . Já encontramos os valores das derivadas parciais de z . Basta substituirmos os valores na expressão agora!

y 2 x ∂ f ∂ u - x 2 y ∂ f ∂ u = 0

2 x y ∂ f ∂ u - 2 x y ∂ f ∂ u = 0

Pronto, mostramos que a expressão é verdadeira! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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