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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 25

Dada z = f ( x^2 + y^2 ) , f diferenciável, mostrar que

y (del z)/(del x) - x (del z)/(del y) = 0

Passo 1

Bom, pessoal, vamos começar fazendo o seguinte: vamos chamar x^2 + y^2 = u . Assim, temos

z = f ( u )

Vamos agora derivar para encontrar as derivadas parciais:

(del z)/(del x) = (del f)/(del u) * (del u)/(del x)

(del z)/(del x) = 2 x (del f)/(del u)

Derivando em relação a y , temos:

(del z)/(del y) = (del f)/(del u) * (del u)/(del y)

(del z)/(del y) = 2 y (del f)/(del u)

Nós queremos validar a expressão dada no enunciado, y (del z)/(del x) - x (del z)/(del y) = 0 . Já encontramos os valores das derivadas parciais de z . Basta substituirmos os valores na expressão agora!

y (2 x (del f)/(del u)) - x (2 y (del f)/(del u)) = 0

2 x y (del f)/(del u) - 2 x y (del f)/(del u) = 0

Pronto, mostramos que a expressão é verdadeira! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Prove que as funções dadas são diferenciáveis.b) f ( x , y ) = x + y
Prove que as funções dadas são diferenciáveis.e) f ( x , y ) = (1)/(x + y)
Prove que as funções dadas são diferenciáveis.d) f ( x , y ) = (1)/(x y)
Prove que a função dada é diferenciável:f (x , y) = x y
1. Verifique que a função dada é diferenciável.c) f x , y = x 2 y