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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 82

82.Calcular f ’ ( 1 ) , se f (x) = ln (1 + x) + a r c s e n x // 2

Passo 1

Essa função é a soma de duas funções, iremos isolar cada uma delas:

f (x) = g (x) + h ( x )

E a fórmula da derivada da soma:

f ' (x) = g ' (x) + h ' ( x )

Passo 2

Derivando g ( x ) , temos:

g (x) = ln (1 + x)

g ´ (x) = (1)/(1 + x)

Derivando h (x) , temos:

h (x) = a r c s e n x // 2

h ´ (x) = ((1)/(2))/(sqrt(1 - (x // 2)^2)) = (1)/(2 sqrt(1 - (x^2)/(4)))

Passo 3

Agora escrevendo tudo na fórmula do produto das derivadas, temos:

f ' (x) = (1)/(1 + x) + (1)/(2 sqrt(1 - (x^2)/(4)))

Fazendo o f^' ( 1 ) :

f ' (1) = (1)/(1 + 1) + (1)/(2 sqrt(1 - (1^2)/(4)))

f^' ( 1 ) = (1)/(2) + (1)/(2 sqrt((3)/(4))) = (1)/(2) + (1)/((2 sqrt(3))/(2)) = (1)/(2) + (1)/(sqrt(3)) = (sqrt(3) + 2)/(2 sqrt(3))

f^' ( 1 ) = (sqrt(3) + 2)/(2 sqrt(3))

Racionalizando a fração acima, vamos ter isso aqui:

f^' (1) = (sqrt(3) + 2)/(2 sqrt(3)) (sqrt(3))/(sqrt(3)) = (3 + 2 sqrt(3))/(6)

Resposta

f^' (1) = (3 + 2 sqrt(3))/(6)

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