Dada f(x) = sen(2x) \* cos(3x) , mostrar que f(x) é ímpar e f'(x) é par.

Passo 1

Para verificarmos a paridade dessas funções, tomamos as seguintes proposições:

  • Funções pares multiplicadas por funções pares resultam em funções pares.
  • Funções ímpares multiplicadas por funções ímpares resultam em funções pares.
  • Funções ímpares multiplicadas por funções pares resultam em funções ímpares.

Passo 2

A função seno é uma função ímpar, pois vale que f x = - f ( - x ) , pra qualquer lei de função que envolva seno. Seus gráficos são sempre antissimétricos em relação ao eixo das abscissas.

Já a função cosseno é uma função par, pois vale que f x = f ( - x ) , pra qualquer lei de função que envolva cosseno. Seus gráficos são sempre simétricos em relação ao eixo das abscissas.

Fica então verificado que f x = sin ⁡ 2 x ∙ cos ⁡ 3 x é ímpar, pois é uma composição de funções seno e cosseno por multiplicação. Função ímpar multiplicada por função par, resulta em função ímpar!

Passo 3

Agora avaliamos f ' ( x ) , que vale:

f ' x = d ( sin ⁡ 2 x ) d x ∙ cos ⁡ 3 x + d cos ⁡ 3 x d x ∙ sin ⁡ 2 x

f ' x = 2 ∙ cos ⁡ 2 x ∙ cos ⁡ 3 x + 3 ∙ ( - sin ⁡ 3 x ) ∙ sin ⁡ 2 x

f ' x = 2 ∙ cos ⁡ 2 x ∙ cos ⁡ 3 x - 3 ∙ sin ⁡ 3 x ∙ sin ⁡ 2 x

A multiplicação entre funções pares, como as funções cosseno, resultam sempre em funções pares.

Da mesma forma, a multiplicação entre funções ímpares, como as funções seno, também resultam em funções pares.

A composição por adição ou subtração entre as funções pares resultantes também vai gerar uma função par no final. Fica então verificado que f ' ( x ) é função par!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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