Dada f(x) = sen(2x) * cos(3x) , mostrar que f(x) é ímpar e f'(x) é par.

Passo 1

Para verificarmos a paridade dessas funções, tomamos as seguintes proposições:

  • Funções pares multiplicadas por funções pares resultam em funções pares.
  • Funções ímpares multiplicadas por funções ímpares resultam em funções pares.
  • Funções ímpares multiplicadas por funções pares resultam em funções ímpares.

Passo 2

A função seno é uma função ímpar, pois vale que f (x) = - f ( - x ) , pra qualquer lei de função que envolva seno. Seus gráficos são sempre antissimétricos em relação ao eixo das abscissas.

Já a função cosseno é uma função par, pois vale que f (x) = f ( - x ) , pra qualquer lei de função que envolva cosseno. Seus gráficos são sempre simétricos em relação ao eixo das abscissas.

Fica então verificado que f (x) = sin 2 x * cos 3 x é ímpar, pois é uma composição de funções seno e cosseno por multiplicação. Função ímpar multiplicada por função par, resulta em função ímpar!

Passo 3

Agora avaliamos f ' ( x ) , que vale:

f^' (x) = (d ( sin 2 x ))/(d x) * cos 3 x + (d (cos 3 x))/(d x) * sin 2 x

f^' (x) = 2 * cos 2 x * cos 3 x + 3 * ( - sin 3 x ) * sin 2 x

f^' (x) = 2 * cos 2 x * cos 3 x - 3 * sin 3 x * sin 2 x

A multiplicação entre funções pares, como as funções cosseno, resultam sempre em funções pares.

Da mesma forma, a multiplicação entre funções ímpares, como as funções seno, também resultam em funções pares.

A composição por adição ou subtração entre as funções pares resultantes também vai gerar uma função par no final. Fica então verificado que f ' ( x ) é função par!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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