Enunciado

Provar que:

(a)Se y = c o t g x , então y^' = - c o s e c^2 x .

Passo 1

A cotangente de um ângulo nada mais é que o inverso da tangente desse ângulo, ou seja:

cot x = (1)/(tan x)

Mas também sabemos da trigonometria que tan x = (s i n x)/(cos x)

Então escrevemos que a cotangente de x vale:

cot x = (cos x)/(sin x)

Passo 2

Se y = cot x , e queremos comprovar o valor de y ' , vamos derivar y = cot x = (cos x)/(sin x) pela regra do quociente:

y^' = (cot x)^' = (( - sin x * sin x ) - ( cos x * cos x ))/(( sin x )^2)

y^' = (cot x)^' = (( - sin x )^2 - ( cos x )^2)/(( sin x )^2)

y^' = (cot x)^' = (- [ (sin x)^2 + (cos x)^2 ])/(( sin x )^2)

Passo 3

Pelos nossos conhecimentos de trigonometria, lembramos que (sin x)^2 + (cos x)^2 = 1 . Logo, resultamos em:

y^' = (cot x)^' = (- 1)/(( sin x )^2)

Ainda dentro dos nossos conhecimentos de trigonometria, sabemos que (1)/(sin x) = csc x . Então, resultamos em:

y^' = (cot x)^' = - ( csc x )^2

E fica assim provada a tese do enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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