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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 25

Prove que f (x) = x + (1)/(x^2) é contínua em 1 .

Passo 1

Temos que:

|f (x) - f (1)| = |x + (1)/(x^2) - (1 + (1)/(1))| = |x + (1)/(x^2) - 2|

|f (x) - f (1)| = |(x^3 - 2 x^2 + 1)/(x^2)| = |((x - 1) (x^2 - x - 1))/(x^2)| = |(x^2 - x - 1)/(x^2)| |x - 1|

|f (x) - f (1)| = |1 - (1)/(x) - (1)/(x^2)| |x - 1|

|f (x) - f (1)| = |1 - ((1)/(x) + (1)/(x^2))| |x - 1|

Temos por propriedade do módulo que:

|1 - ((1)/(x) + (1)/(x^2))| <= 1 + |(1)/(x) + (1)/(x^2)|

Passo 2

E como como x > 0 , |(1)/(x) + (1)/(x^2)| = (1)/(x) + (1)/(x^2) então:

|1 - ((1)/(x) + (1)/(x^2))| <= 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)

|1 - ((1)/(x) + (1)/(x^2))| |x - 1| <= (1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) |x - 1|

|f (x) - f (1)| <= (1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) |x - 1|

E temos que para x > (1)/(2) , então:

x > (1)/(2)

(1)/(x) < 2 e (1)/(x^2) < 4

1 + (1)/(x) + (1)/(x^2) < 1 + 2 + 4

(1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) < 7

(1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) |x - 1| < 7 |x - 1|

Se |f (x) - f (1)| <= (1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) |x - 1|

|f (x) - f (1)| <= (1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) |x - 1| < 7 |x - 1|

|f (x) - f (1)| <= 7 |x - 1|

Passo 3

Para f ser contínua em p = 1 , temos que para um valor ϵ > 0 e tomando delta como sendo o menor valor entre (1)/(2) e (ϵ)/(7) , podemos afirmar que

|x - 1| < delta => |f (x) - f (1)| < ϵ

E, portanto, f é contínua em p = 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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