Prove que f(x) = x + 1 / x^2 é contínua em 1 .

Passo 1

Temos que:

f x - f 1 = x + 1 x 2 - 1 + 1 1 = x + 1 x 2 - 2

f x - f 1 = x 3 - 2 x 2 + 1 x 2 = x - 1 x 2 - x - 1 x 2 = x 2 - x - 1 x 2 x - 1

f x - f 1 = 1 - 1 x - 1 x 2 x - 1

f x - f 1 = 1 - 1 x + 1 x 2 x - 1

Temos por propriedade do módulo que:

1 - 1 x + 1 x 2 ≤ 1 + 1 x + 1 x 2

Passo 2

E como como x > 0 , 1 x + 1 x 2 = 1 x + 1 x 2 então:

1 - 1 x + 1 x 2 ≤ 1 + 1 x + 1 x 2

1 - 1 x + 1 x 2 x - 1 ≤ 1 + 1 x + 1 x 2 x - 1

f x - f 1 ≤ 1 + 1 x + 1 x 2 x - 1

E temos que para x > 1 2 , então:

x > 1 2

1 x < 2 e 1 x 2 < 4

1 + 1 x + 1 x 2 < 1 + 2 + 4

1 + 1 x + 1 x 2 < 7

1 + 1 x + 1 x 2 x - 1 < 7 x - 1

Se f x - f 1 ≤ 1 + 1 x + 1 x 2 x - 1

f x - f 1 ≤ 1 + 1 x + 1 x 2 x - 1 < 7 x - 1

f x - f 1 ≤ 7 x - 1

Passo 3

Para f ser contínua em p = 1 , temos que para um valor ϵ > 0 e tomando δ como sendo o menor valor entre 1 2 e ϵ 7 , podemos afirmar que

x - 1 < δ   ⇒ f x - f 1 < ϵ

E, portanto, f é contínua em p = 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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