Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 25

Prove que f (x) = x + (1)/(x^2) é contínua em 1 .

Passo 1

Temos que:

|f (x) - f (1)| = |x + (1)/(x^2) - (1 + (1)/(1))| = |x + (1)/(x^2) - 2|

|f (x) - f (1)| = |(x^3 - 2 x^2 + 1)/(x^2)| = |((x - 1) (x^2 - x - 1))/(x^2)| = |(x^2 - x - 1)/(x^2)| |x - 1|

|f (x) - f (1)| = |1 - (1)/(x) - (1)/(x^2)| |x - 1|

|f (x) - f (1)| = |1 - ((1)/(x) + (1)/(x^2))| |x - 1|

Temos por propriedade do módulo que:

|1 - ((1)/(x) + (1)/(x^2))| <= 1 + |(1)/(x) + (1)/(x^2)|

Passo 2

E como como x > 0 , |(1)/(x) + (1)/(x^2)| = (1)/(x) + (1)/(x^2) então:

|1 - ((1)/(x) + (1)/(x^2))| <= 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)

|1 - ((1)/(x) + (1)/(x^2))| |x - 1| <= (1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) |x - 1|

|f (x) - f (1)| <= (1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) |x - 1|

E temos que para x > (1)/(2) , então:

x > (1)/(2)

(1)/(x) < 2 e (1)/(x^2) < 4

1 + (1)/(x) + (1)/(x^2) < 1 + 2 + 4

(1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) < 7

(1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) |x - 1| < 7 |x - 1|

Se |f (x) - f (1)| <= (1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) |x - 1|

|f (x) - f (1)| <= (1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) |x - 1| < 7 |x - 1|

|f (x) - f (1)| <= 7 |x - 1|

Passo 3

Para f ser contínua em p = 1 , temos que para um valor ϵ > 0 e tomando delta como sendo o menor valor entre (1)/(2) e (ϵ)/(7) , podemos afirmar que

|x - 1| < delta => |f (x) - f (1)| < ϵ

E, portanto, f é contínua em p = 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

17-40 Encontre os limites.24. lim h → 0 ⁡ s e n h 2 h
17-40 Encontre os limites.22. lim x → + ∞ ⁡ c o s ⁡ ( 2 a r c t g x )
17-40 Encontre os limites.28. lim x → 0 ⁡ s e n 6 x s e n 8 x
57-60 Aplique o resultado do Exercício 56, se necessário, para encontrar os limites.57- lim x → 0 ⁡ x a r c s e nx
15-16 Em cada parte, use o Teorema 1.5.6 (b) para mostrar que a função é contínua em toda parte.16- a) 3 + s e n2 x b) s e n( s e n x ) c) cos 5 ⁡ ( x - 2 cos 3 ⁡ x + 1 )