Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 26

Prove que f (x) = x + (1)/(x) é contínua em todo p > 0 .

Passo 1

Uma função contínua em um ponto p que para todo ϵ > 0 existe delta > 0 tal um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

|x - p| < delta => |f (x) - f (p)| < ϵ

Agora é aplicar!

Passo 2

Então vamos começar calculando quem é |f (x) - f (p)|

Temos que para um p > 0

|f (x) - f (p)| = |x + (1)/(x) - (p + (1)/(p))| = |x - p + (1)/(x) - (1)/(p)|

= |(x - p) + (p - x)/(x p)| = |(x - p) - ((x - p))/(x p)|

Colocando (x - p) em evidência,

= |(x - p) (1 - (1)/(x p))|

Logo,

|f (x) - f (p)| = |x - p| |1 - (1)/(x p)|

Por propriedade do módulo:

|1 - (1)/(x p)| <= 1 + |- (1)/(x p)|

Como x > 0 e p > 0 :

|1 - (1)/(x p)| <= 1 + (1)/(x p)

Então:

|f (x) - f (p)| = |x - p| |1 - (1)/(x p)| <= |x - p| (1 + (1)/(x p))

|f (x) - f (p)| <= |x - p| (1 + (1)/(x p))

Agora vamos analisar alguns possíveis valores de x .

Passo 3

Se x > 0 e p > 0 , temos que x p > 0 e assim:

(1)/(x p) > 0

1 + (1)/(x p) > 1

(1 + (1)/(x p)) |x - p| > 1 |x - p|

|x - p| < (1 + (1)/(x p)) |x - p|

Assim, mostramos que |x - p| < (1 + (1)/(x p)) |x - p| e ao mesmo tempo temos que |f (x) - f (p)| <= |x - p| (1 + (1)/(x p))

Passo 4

Se pegarmos qualquer x > (p)/(2) :

x p > (p^2)/(2)

(1)/(x p) < (2)/(p^2)

1 + (1)/(x p) < 1 + (2)/(p^2)

|x - p| (1 + (1)/(x p)) < |x - p| (1 + (2)/(p^2))

|f (x) - f (p)| <= |x - p| (1 + (1)/(x p)) < |x - p| (1 + (2)/(p^2))

|f (x) - f (p)| < |x - p| (1 + (2)/(p^2))

Para f ser contínua em p , temos que para um valor ϵ > 0 e tomando delta como sendo o menor valor entre (p)/(2) e (ϵ)/((1 + (2)/(p^2))) , podemos afirmar que

|x - p| < delta => |f (x) - f (p)| < ϵ

E, portanto, f é contínua em p .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

49-A figura abaixo mostra o gráfico de y =x 4+x -1 . Use o método do Exemplo 5 para aproximar os cortes com o eixo x com um erro de, no máximo, 0,05 .
34- a) A terminologia descontinuidade removível é apropriada porque uma descontinuidade removível de uma função f em um ponto x = c pode ser “ removida”, redefinindo o valor de f apropriadamente em x
52-Um corredor é cronometrado percorrendo 100 metros em 10 segundos. O cronômetro é zerado e o corredor volta calmamente para o início da pista. Mostre que existe pelo menos um ponto na pista no qual
46-Seja f a função cujo gráfico está mostrado no Exercício 2. Para cada intervalo, determine (i) se está satisfeita a hipótese do Teorema do Valor Intermediário e (ii) se está satisfeita a conclusão d
43-46 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.46- Suponha que M seja um número positivo e que uma função f satisfaça - M ≤ f ( x ) ≤ M Com qualquer número real x . E