Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 20
Suponha definida e contínua em e que para todo racional. Prove que para todo real.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho?
Vamos lá, resolver mais um exercício! Essa questão é bem teórica, mas é importante pra gente ficar ligado nos teoremas, ok?
Para provar isso, vamos começar supondo que existe um real, de forma que … E o que eu fazer com essa informação?
Bom, vamos relembrar do teorema da conservação dos sinais, ele diz que: se for contínua em e então vai existir um tal que conservará o sinal de e teremos que:
.
Hum… Vamos pensar sobre isso…
Passo 2
O enunciado está nos pedindo para provar que em todo real… Bom, se a gente supor que é racional e que , no intervalo de até , vai existir pelo menos um número racional onde teremos um para ser verdade que , ok?
Mas, veja bem... isso é uma grandessíssima contradição. Nós descrevemos o teorema da conservação ali em cima, lembra?
O exercício nos propõe que dentro do intervalo. No entanto, pelo teorema existirá um tal que e aqui teremos pelo menos um número racional… Isso significa que provamos que, nessas condições, não vamos ter um para todo real.
Ops! Nossa conclusão foi que não é possível ter o que o enunciado nos pediu pra provar!
Resposta
Supondo que existe um real tal que e usando o teorema da conservação do sinal, teremos um tal que para … E isso é impossível, pois entre e deve existir pelo menos um número racional.