Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 3

Prove que se for contínua em e se então existirá tal que para

Passo 1

Beleza, bora lá. Pra começar, vamos reescrever a equação abaixo:

Juntando esses dois pontos e prosseguindo, temos:

Opa, essa equação ai é exatamente o interior de uma circunferência de raio centrada em . Em outras palavras, expressa as “vizinhanças” do ponto , com sendo tão pequeno quanto se queira.

Passo 2

Ta, mas e daí? Ok, calma galera. A gente sabe que e a questão ta pedindo pra gente provar que existe tal que para . Em outras palavras, queremos dizer que se , então qualquer ponto nas “vizinhanças” de .também terá .

Passo 3

Como é contínua, qualquer ponto na “vizinhança” de implica que e estarão distantes, no mínimo, em unidades, sendo também tão pequeno quanto se queira. Em matematiquês, a continuidade da função implica em:

Abrindo o módulo:

Agora a magia tá no seguinte: como “vizinhança” significa o mesmo que proximidade, temos que qualquer ponto dentro dessa “vizinhança” estará muito perto de , implicando na proximidade de e . Sendo , muito pequeno, como , vamos ter: