Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 3
Prove que se for contínua em e se então existirá tal que para
Passo 1
Beleza, bora lá. Pra começar, vamos reescrever a equação abaixo:
Juntando esses dois pontos e prosseguindo, temos:
Opa, essa equação ai é exatamente o interior de uma circunferência de raio centrada em . Em outras palavras, expressa as “vizinhanças” do ponto , com sendo tão pequeno quanto se queira.
Passo 2
Ta, mas e daí? Ok, calma galera. A gente sabe que e a questão ta pedindo pra gente provar que existe tal que para . Em outras palavras, queremos dizer que se , então qualquer ponto nas “vizinhanças” de .também terá .
Passo 3
Como é contínua, qualquer ponto na “vizinhança” de implica que e estarão distantes, no mínimo, em unidades, sendo também tão pequeno quanto se queira. Em matematiquês, a continuidade da função implica em:
Abrindo o módulo:
Agora a magia tá no seguinte: como “vizinhança” significa o mesmo que proximidade, temos que qualquer ponto dentro dessa “vizinhança” estará muito perto de , implicando na proximidade de e . Sendo , muito pequeno, como , vamos ter:
E logo:
Por transitividade:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)