Seja f(x, y) = x^2 + y^2 e seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva diferenciável cuja imagem está contida no gráfico de f . Suponha, ainda, γ(0) = (1,1,2) . Seja T a reta tangente a gamma em γ(0) . Mostre que T está contida no plano

z - f(1,1) = ∂f/∂x(1,1) * (x - 1) + ∂f/∂y(1,1) * (y - 1)

Interprete geometricamente.

Passo 1

É dada uma função f de duas variáveis e uma curva γ contida em f , sendo que o único que conhecemos de γ é o seu valor em t = 0 .

Este exercício é muito parecido com o anterior, com a diferença de que, agora, γ é desconhecida. Ela pode ser qualquer curva contida em f !

Como não conhecemos a cara de γ , é bom já deixar a curva escrita através de sua componentes: γ t = γ 1 t , γ 2 t , γ 3 t .

Mas, como γ DEVE pertencer ao gráfico da f ( z = x 2 + y 2 ), deve existir a seguinte relação entre as componentes de γ :

γ 3 t = γ 1 2 t + γ 2 2 t

Agora, vamos derivar a relação acima em relação a t e deixar o resultado anotado:

γ 3 ' t = 2 γ 1 t γ 1 ' t + 2 γ 2 t γ 2 ' t

Passo 2

Note que o ponto 1,1 , 2 em γ refere-se a t = 0 .

Agora, para determinar a reta tangente a γ no ponto 1,1 , 2 , recorremos à figura abaixo:

Note que, pela figura, um ponto qualquer x , y , z sobre a reta tangente será dado pela soma do vetor ponto de referência, no caso 1,1 , 2 , com o vetor α γ ' , para algum número α . Escrevendo isto em forma de equação, temos:

x , y , z = 1,1 , 2 + α γ '

Mas, sendo γ t = γ 1 t , γ 2 t , γ 3 t , temos γ ' t = γ 1 ' t , γ 2 ' t , γ 3 ' t , ou, para t = 0 , ficamos com:

x , y , z = 1,1 , 2 + α γ 1 ' 0 , γ 2 ' 0 , γ 3 ' 0

Esta equação vetorial representa três equações:

x = 1 + α γ 1 ' 0 y = 1 + α γ 2 ' 0 z = 2 + α γ 3 ' 0

Que é a equação da reta tangente no ponto!

Passo 3

Seja T a reta obtida no item anterior. Devemos mostrar que esta reta satisfaz a equação:

z - f 1,1 = ∂ f ∂ x 1,1 x - 1 + ∂ f ∂ y 1,1 y - 1

Mas, nesta expressão,

∂ f ∂ x 1,1 = ∂ x 2 + y 2 ∂ x 1,1 = 2

E também

∂ f ∂ y 1,1 = ∂ x 2 + y 2 ∂ y 1,1 = 2

Assim, como f 1,1 = 1 2 + 1 2 = 2 , a equação que queremos testar fica

z - 2 = 2 x - 1 + 2 y - 1

Agora, será que nossa reta T se encaixa nesta equação? Bem, basta substituir o x , y , z da reta ali para sabermos ao certo:

2 + α γ 3 ' 0 - 2 = 2 1 + α γ 1 ' 0 - 1 + 2 1 + α γ 2 ' 0 - 1

O que resulta em:

γ 3 ' 0 = 2 γ 1 ' 0 + 2 γ 2 ' 0

Será que esta equação é sempre satisfeita, independente da cara de γ ? Para responder isso, vamos invocar a equação que a gente deixou anotado logo no começo:

γ 3 ' t = 2 γ 1 t γ 1 ' t + 2 γ 2 t γ 2 ' t

No ponto em que t = 0 , temos γ 1 0 = 1 e γ 2 0 = 1 , e a relação acima fica:

γ 3 ' 0 = 2 γ 1 ' 0 + 2 γ 2 ' 0

As equações são idênticas! Isto significa que a única condição para T estar contida no plano dado é ela existir!

A interpretação geométrica é simples: todas as retas tangentes a uma superfície num ponto estão no próprio plano tangente (o plano tangente é a coleção de todas as retas tangentes!).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dizemos que (x0, y0) é um ponto crítico do estacionário de z = f(x, y) se ∂f/∂x (x0, y0) = ∂f/∂y (x0, y0) = 0 . Determine (caso existam) os pontos críticos da função f(x, y) = x^4 + 4xy + y^4
Seja f: R^2 → R dada por: f(x, 0) = 1 + x^2 , f(0, y) = 1 + y^2 e f(x, y) = 0 se x ≠ 0 e y != 0 .a) Esboce o gráfico de f .b) Calcule ∂f/∂x|_(0,0) e ∂f/∂y (0,0) .c) f é contínua em 0,0 ? Justifique.d)
Calcule as derivadas parciais dew(x, y, z) = xyz / (x + y + z)
Calcule as derivadas parciais def(x, y, z) = sen( raiz(x^2 + y^2 + z^2) ) .