Prove que a função f (x) = {[[x s e x in Q],[- x s e x !in Q]]) é contínua em 0 .

Passo 1

Uma função contínua em um ponto p que para todo ϵ > 0 existe delta > 0 tal um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

|x - p| < delta => |f (x) - f (p)| < ϵ

Estamos avaliando a continuidade no ponto p = 0 .

Então agora é aplicar!

Passo 2

Nesse caso como f (x) só pode ser igual a x ou - x , seu módulo será sempre menor ou igual ao valor do |f (x)| <= |x|

Então, para x = 0 :

|f (0)| <= |0| = 0

Ou seja,

f (0) = 0

Passo 3

Assim, para p = 0 , a função é contínua em p se:

|x - 0| < delta => |f (x) - 0| < ϵ

|x| < delta => |f (x)| < ϵ

Se tomarmos delta = ϵ :

|x| < delta = ϵ

|x| < ϵ

E como |f (x)| <= |x|

|f (x)| <= |x| < ϵ

|f (x)| < ϵ

Logo, a afirmação |x| < delta => |f (x)| < ϵ de fato é verdadeira, e, portanto, provamos que f é contínua em 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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