Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 62
Prove que uma função injetora não pode ter duas inversas diferentes.
Passo 1
Para essa prova teremos como hipótese que a seguinte função é injetora:
Passo 2
Para provarmos que a função é injetora, devemos provar que , pois cada elemento da imagem está ligado a um único elemento do domínio, logo:
Utilizando álgebra simples:
Portanto, acabamos de provar que a função é injetora.
Passo 3
Sabemos que é uma função injetora, vamos calcular a sua inversa:
Trocando as variáveis:
Logo,
Passo 4
Agora utilizaremos a mesma prova, para encontrar o contrário, ou seja, , pois cada elemento do domínio está ligado a um único elemento da imagem, logo:
Portanto, acabamos de provar que uma função injetora não possui duas inversas diferentes.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Prove a fórmula indicada desta seção.Fórmula 10 : D x co tgh - 1 u = 1 1 - u 2 D x u , u1
Expresse a quantidade dada em termos do logaritmo natural. senh - 1 1 4
Prove a fórmula indicada desta seção.Fórmula 11 : D x sech - 1 u = - 1 u u 2 - 1 D x u , 0u1
Prove a fórmula indicada desta seção.Fórmula 3 : tgh - 1 x = 1 2 ln 1 + x 1 - x , x1
Prove a fórmula indicada desta seção.Fórmula 3 : cot gh - 1 x = 1 2 ln x + 1 x - 1 , x1