Enunciado

Prove que uma função injetora f não pode ter duas inversas diferentes.

Passo 1

Para essa prova teremos como hipótese que a seguinte função é injetora:

f x = 3 x + 7

Passo 2

Para provarmos que a função f é injetora, devemos provar que f x = f y → x = y , pois cada elemento da imagem está ligado a um único elemento do domínio, logo:

3 x + 7 = 3 y + 7

Utilizando álgebra simples:

3 x = 3 y

x = y

Portanto, acabamos de provar que a função f é injetora.

Passo 3

Sabemos que f x = 3 x + 7 é uma função injetora, vamos calcular a sua inversa:

f x = 3 x + 7

y = 3 x + 7

x = y - 7 3

Trocando as variáveis:

y = x - 7 3

Logo,

f - 1 x = x - 7 3

Passo 4

Agora utilizaremos a mesma prova, para encontrar o contrário, ou seja, f - 1 x = f - 1 y → x = y , pois cada elemento do domínio está ligado a um único elemento da imagem, logo:

x - 7 3 = y - 7 3

x - 7 = y - 7

x = y

Portanto, acabamos de provar que uma função injetora f não possui duas inversas diferentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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