Prove que uma função injetora não pode ter duas inversas diferentes.
Passo 1
Para essa prova teremos como hipótese que a seguinte função é injetora:
Passo 2
Para provarmos que a função é injetora, devemos provar que , pois cada elemento da imagem está ligado a um único elemento do domínio, logo:
Utilizando álgebra simples:
Portanto, acabamos de provar que a função é injetora.
Passo 3
Sabemos que é uma função injetora, vamos calcular a sua inversa:
Trocando as variáveis:
Logo,
Passo 4
Agora utilizaremos a mesma prova, para encontrar o contrário, ou seja, , pois cada elemento do domínio está ligado a um único elemento da imagem, logo:
Portanto, acabamos de provar que uma função injetora não possui duas inversas diferentes.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)