Sejam x^1, ..., x^m soluções de x' = P(t) * x no intervalo α < t < β . Suponha que P é contínua, e seja t0 um ponto arbitrário no intervalo dado. Mostre que x^1, …, x^m são linearmente dependentes α < t < β se e somente se x^1 * t_0, ..., x^m * t_0 são linearmente dependentes. Em outras palavras, x^1, …, x^m são linearmente dependentes no intervalo (α, β) se forem linearmente dependentes em qualquer ponto nele.

Sugestão: Existem constantes c₁, …, cₘ satisfazem c1(x^1(t0), ..., cm(x(t0)) = 0 . Seja z(t) = c1 * x^(1) * t, …, cm * x^(m) * t e use o teorema de unicidade para mostrar que z(t) = 0 para que α < t < β .

Passo 1

Nós assumimos que x 1 t 0 , … ,   x m ( t 0 ) é linearmente independente, e tem coeficiente c 1 , … ,   c m de modo que:

c 1 x 1 ( t 0 ) , … , c m x m ( t 0 ) = 0

Agora, se z t = c 1 x 1 t , … , c m x m t . Desde que z ( t ) seja uma combinação linear de soluções de x ' = p t x , é uma solução em si da equação diferencial.

Note que x 0 t = 0 é uma equação do problema que satisfaz x 0 t 0 = 0 .

Porque p é contínuo, especialmente em α   < t < β , nós aplicamos o teorema da singularidade que deve existir uma única solução para o problema inicial, portanto, teremos z t = x 0 t = 0 .

z t = c 1 x 1 t , … , c m x m t

Para todo t ∈ ( α , β ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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