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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 8

Sejam x 1 ,   … ,   x m soluções de x ' = P t x no intervalo α   < t < β . Suponha que P é contínua, e seja t 0 um ponto arbitrário no intervalo dado. Mostre que x 1 , … , x m são linearmente dependentes α   < t < β se e somente se x 1 t 0 , … ,   x m ( t 0 ) são linearmente dependentes. Em outras palavras, x 1 ,   … ,   x m são linearmente dependentes no intervalo α , β se forem linearmente dependentes em qualquer ponto nele.

Sugestão: Existem constantes c 1 , … ,   c m satisfazem c 1 x 1 ( t 0 ) , … , c m x m ( t 0 ) = 0 . Seja z t = c 1 x 1 t , … , c m x m t   e use o teorema de unicidade para mostrar que z t = 0 para que α   < t < β .

Passo 1

Nós assumimos que x 1 t 0 , … ,   x m ( t 0 ) é linearmente independente, e tem coeficiente c 1 , … ,   c m de modo que:

c 1 x 1 ( t 0 ) , … , c m x m ( t 0 ) = 0

Agora, se z t = c 1 x 1 t , … , c m x m t . Desde que z ( t ) seja uma combinação linear de soluções de x ' = p t x , é uma solução em si da equação diferencial.

Note que x 0 t = 0 é uma equação do problema que satisfaz x 0 t 0 = 0 .

Porque p é contínuo, especialmente em α   < t < β , nós aplicamos o teorema da singularidade que deve existir uma única solução para o problema inicial, portanto, teremos z t = x 0 t = 0 .

z t = c 1 x 1 t , … , c m x m t

Para todo t ∈ ( α , β ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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