Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 8

Sejam soluções de no intervalo . Suponha que P é contínua, e seja um ponto arbitrário no intervalo dado. Mostre que são linearmente dependentes se e somente se são linearmente dependentes. Em outras palavras, são linearmente dependentes no intervalo se forem linearmente dependentes em qualquer ponto nele.

Sugestão: Existem constantes satisfazem . Seja e use o teorema de unicidade para mostrar que para que .

Passo 1

Nós assumimos que é linearmente independente, e tem coeficiente de modo que:

Agora, se . Desde que seja uma combinação linear de soluções de , é uma solução em si da equação diferencial.

Note que é uma equação do problema que satisfaz

Porque é contínuo, especialmente em , nós aplicamos o teorema da singularidade que deve existir uma única solução para o problema inicial, portanto, teremos .

Para todo .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Considere os vetores x 1 = t 2 2 t e x 2 = e t e t , responda às mesmas perguntas que no Problema 6.

Mostreque os wronskianos de dois conjuntos fundamentais desoluções do sistema (3)podem diferir,no máximo, por uma constante multiplicativa. Sugestão: Use a Eq. (15).

Mostre que a solução geral de x ' = P t x + g ( t ) é a soma de qualquer solução particular x ( p ) dessa equação com a solução geral x ( c ) da equação homogênea associada.

Prove a generalização doteorema 7.4.1 , como expressa na frase que contém aEq. (8), para um valor arbitrário do inteiro k .

Se x 1 = y e x 2 = y ’, então a equação de segunda ordem y ' ' + p t y ' + q t y = 0 corresponde ao sistema. x 1 ' = x 2 x 2 ' = - q t x 1 - p ( t ) x 2 Mostreque, se x ( 1 ) e x ( 2 ) formarem um con