Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 12
Prove:
Passo 1
Perceba que, quando colocamos o módulo em , a única coisa que pode mudar na expressão é o sinal, positivo ou negativo, pois . Então, só podem existir dois casos:
Assim, no primeiro caso, temos:
Logo, é imediato que:
pois os limites devem ser iguais.
Passo 2
Para tratar o segundo caso de forma mais simples, vamos dizer que:
(Lembre-se de que aqui, e não são constantes, mas sim funções de !)
Então, estamos no caso em que:
E queremos provar que:
Suponha, por contradição, que , mas :
Achamos então uma contradição, pois havíamos suposto que .
Sendo assim, provamos a implicação :
Passo 3
De modo muito análogo, provamos a implicação . Suponha, por contradição, que , mas :
Achamos então uma contradição, pois havíamos suposto que .
Sendo assim, provamos que:
Logo, provamos as duas implicações:
Ou seja,
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)