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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 37

Prove a propriedade dada, sendo a e b números positivos quaisquer e x e y , números reais quaisquer.

a x ÷ a y = a x - y

Passo 1

Para isso, vamos usar que

a = e ln ⁡ a

Assim, vamos ter

a x = e ln ⁡ a x = e x ln ⁡ a

a y = e ln ⁡ a y = e y ln ⁡ a

Passo 2

Vamos substituir isso que achamos na expressão que ele quer:

a x ÷ a y = e x ln ⁡ a ÷ e y ln ⁡ a

Essa propriedade para a base e fica:

a x ÷ a y = e x ln ⁡ a ÷ e y ln ⁡ a = e x ln ⁡ a - y ln ⁡ a

Colocando ln ⁡ a em evidência no expoente:

a x ÷ a y = e x ln ⁡ a ÷ e y ln ⁡ a = e x - y ln ⁡ a

Pelas propriedades de potência:

a x ÷ a y = e x - y ln ⁡ a = e ln ⁡ a x - y

Pelas propredidades de log

e ln ⁡ a = a

Então

a x ÷ a y = e ln ⁡ a x - y = a x - y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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