Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 3
Suponha que a reta tangente à curva no ponto tenha a equação . Se for usado o método de Newton para localizar uma raiz da equação com aproximação inicial , encontre a segunda aproximação .
Passo 1
Falai galerinha, tudo certo:
Como diria a Viúva Negra, “Ainda somos amigos, certo?”
Boraaa fazer essa comigo
A questão pede para usar o método de Newton para encontrar uma raiz da função
Nos é dado um ponto inicial e a equação da reta tangente à curva no ponto
Queremos encontrar a segunda aproximação usando o método de Newton.
O método de Newton, também conhecido como método de Newton-Raphson, é uma técnica para encontrar raízes de uma função
A fórmula para a aproximação é:
Onde:
- é a aproximação atual.
- (é a próxima aproximação.
- é o valor da função em
- é o valor da derivada da função em
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a função e sua derivada .
Sabemos que a reta tangente no ponto tem a equação
Isso nos dá duas informações importantes:
1. O ponto de tangência significa que
2. A inclinação da reta tangente é a derivada da função no ponto de tangência,
Com isso, podemos usar o método de Newton para encontrar
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula do método de Newton.
Identificamos o valor inicial:
Calculamos
Calculamos
Agora aplicamos a fórmula do método de Newton:
Portanto, a segunda aproximação
“Nós somos Groot”
Resposta
Portanto, a segunda aproximação