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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 1

Prove que a soma de um racional com um irracional é um irracional.

Passo 1

Olá, tudo bem? Queremos mostrar que a soma de um racional com um irracional é um irracional. Para isso, vamos lembrar que os racionais são fechados pela sombra e pela subtração. Ou seja, a soma de racionais é racional, e a subtração de racionais é racional..

Passo 2

Vamos supor dois números: x e y . Suponhamos também que x seja racional e y seja irracional

Agora vamos pensar na soma de desses dois números:

A = x + y

Se o resultado dessa soma for um número racional, ou seja A racional, então temos que:Suponha, por absurdo, que A é racional. Logo

A - x

Será racional, uma vez que a diferença de dois números racionais é um número racional.

Mas se A - x é racional, como

A - x = y

Isso implica que y também é racional. O que é um absurdo. Pois nossa hipótese era que x é racional e y é irracional

Resposta

A   s o m a   d e   u m   r a c i o n a l   c o m   u m   i r r a c i o n a l   é   u m   n ú m e r o   i r r a c i o n a l

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