Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 2
O produto de um racional diferente de zero com um irracional é racional ou irracional? Justifique.
Passo 1
Olá, tudo bem? Queremos verificar se O produto de um racional diferente de zero com um irracional é racional ou irracional Para isso, vale lembrar que os racionais são fechados pelo produto e pela divisão. Isto é, o produto de dois racionais é racional, e a divisão de dois racionais é racional
Passo 2
Vamos supor dois números: e . Suponhamos também que seja racional e seja irracional.
Agora vamos pensar no produto de desses dois números:
Suponha, por absurdo, que seja racional. Então
Será racional. Pois temos uma divisão de racionais. Mas temos que
Ou seja, como é racional, isso implicaria que é racional. O que é um absurdo, pois temos como hipótese que é irracional.
Logo, o produto de um racional (diferente de zero) com um irracional é um número irracional.