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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 2

O produto de um racional diferente de zero com um irracional é racional ou irracional? Justifique.

Passo 1

Olá, tudo bem? Queremos verificar se O produto de um racional diferente de zero com um irracional é racional ou irracional Para isso, vale lembrar que os racionais são fechados pelo produto e pela divisão. Isto é, o produto de dois racionais é racional, e a divisão de dois racionais é racional

Passo 2

Vamos supor dois números: x ≠ 0 e y . Suponhamos também que x seja racional e y seja irracional.

Agora vamos pensar no produto de desses dois números:

A = x y

Suponha, por absurdo, que A seja racional. Então

A x

Será racional. Pois temos uma divisão de racionais. Mas temos que

y = A x

Ou seja, como A x é racional, isso implicaria que y é racional. O que é um absurdo, pois temos como hipótese que y é irracional.

Logo, o produto de um racional (diferente de zero) com um irracional é um número irracional.

Resposta

O   p r o d u t o   d e   u m   r a c i o n a l   c o m   u m   i r r a c i o n a l   é   u m   n ú m e r o   i r r a c i o n a l

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Prove que é irracional.(a) sqrt(6) (b) sqrt(2) + sqrt(3)
Seja ϵ0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais positivos x e y , tem-se: x - yϵ 2 ⇒ x - yϵ
Sejam x , y dois reais quaisquer com x0 e y0 . Mostre quesqrt(x y) = (x + y)/(2)
Sejam x , y dois reais quaisquer com 0xy . Provesqrt(y - x)sqrt(y) - sqrt(x)
x = root(3)(2 - sqrt(5)) + root(3)(2 + sqrt(5)) é racional ou irracional? Justifique.