Prove o Teorema 7.2.2 (i).
Passo 1
A questão pede para provarmos a parte (i) do teorema 7.2.2 que basicamente diz que se for contínua e decrescente no intervalo fechado , então sua inversa também será decrescente no intervalo .
Bom, já que queremos provar que é decrescente, o que temos que fazer é mostrar que
Passo 2
Como a inversa existe, existem e no domínio de tais que
Tomando , como é decrescente por hipótese, temos que
Assim, temos que
Agora temos que calcular e e ver o que acontece!
Passo 3
Note que
Mas por hipótese, para que , vimos que . Assim, temos que
Desta forma, provamos que se
Vemos assim que é decrescente!
Resposta
Demonstração.
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Determine a derivada.d) y = a r c t g ( x^2 )
Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso. y = ln 3 x
Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso. y = ln ( θ + 1 )
Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso. y = ln x 3
Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso. y = ln t 3 / 2