Prove os teoremas:

Suponhamos que a, b, c ∈ R .

Se a < b e c > 0 então ac < bc

Se a < b e c < 0 então ac > bc

Passo 1

Vamos partir dos teoremas:

a < b     s e   e   s o m e n t e   s e     b - a > 0

S e     a > 0       e     b > 0     e n t ã o     a b > 0

E daí fazer algumas manipulações algébricas para chegar no nosso resultado.

Passo 2

Para o 1º teorema:

Temos que:

a c < b c ↔ b c - a c > 0

b - a c > 0

Sabemos que b - a é positivo e se o produto entre ( b - a ) e c é positivo, c precisa ser positivo!

Passo 3

De forma análoga para o outro teorema:

a c > b c ↔ b c - a c < 0

b - a c < 0

Sabemos que b - a é positivo e para que o produto de dois números seja negativo precisamos que os termos tenham sinais diferentes, ou seja, c é negativo!

Provados!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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