Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 9

Sejam , dois reais quaisquer com . Prove

Passo 1

Para resolvermos essa questão, vamos ter que trabalhar com outras relações entre e até provar que a inequação é verdadeira.

O truque aqui será desenvolver a seguinte inequação:

Note que ela é verdadeira, pois e . Vamos desenvolver:

Como e , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:

Essa inequação ainda não é igual a do enunciado, mas já estamos mais próximo, então vamos seguindo até chegar na expressão do enunciado!

(Pessoal, vamos acompanhando com calma, que no último passo vai ficar claro o porquê dessas manipulações)

Passo 2

Agora, vamos tentar transformar essa inequação em quadrado perfeito!

Vamos começar multiplicando a inequação por (lembre-se de inverter para ):

Depois, somamos nos dois lados:

Perceba que na direita temos um quadrado perfeito:

Substituindo na fórmula,

Só resta tirar a raiz quadrada:

Se , então , logo:

Passo 3

Você pode estar pensando: de onde tirar todas essas ideias malucas pra provar o resultado final? Como saber de qual inequação partir e quais manipulações fazer?

Bom, você pode ser um gênio, ou pode fazer como eu: desenvolver a inequação que quero provar e depois verificar o que posso escrever de trás pra frente. Olha como faz sentido: