Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 9
Sejam , dois reais quaisquer com . Prove
Passo 1
Para resolvermos essa questão, vamos ter que trabalhar com outras relações entre e até provar que a inequação é verdadeira.
O truque aqui será desenvolver a seguinte inequação:
Note que ela é verdadeira, pois e . Vamos desenvolver:
Como e , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Essa inequação ainda não é igual a do enunciado, mas já estamos mais próximo, então vamos seguindo até chegar na expressão do enunciado!
(Pessoal, vamos acompanhando com calma, que no último passo vai ficar claro o porquê dessas manipulações)
Passo 2
Agora, vamos tentar transformar essa inequação em quadrado perfeito!
Vamos começar multiplicando a inequação por (lembre-se de inverter para ):
Depois, somamos nos dois lados:
Perceba que na direita temos um quadrado perfeito:
Substituindo na fórmula,
Só resta tirar a raiz quadrada:
Se , então , logo:
Passo 3
Você pode estar pensando: de onde tirar todas essas ideias malucas pra provar o resultado final? Como saber de qual inequação partir e quais manipulações fazer?
Bom, você pode ser um gênio, ou pode fazer como eu: desenvolver a inequação que quero provar e depois verificar o que posso escrever de trás pra frente. Olha como faz sentido:
Viu?!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)