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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 4

x = root(3)(2 - sqrt(5)) + root(3)(2 + sqrt(5)) é racional ou irracional? Justifique.

Passo 1

Como temos raízes cúbicas, vamos elevar tudo ao cubo:

x^3 = (root(3)(2 - sqrt(5)) + root(3)(2 + sqrt(5)))^3

x^3 = (root(3)(2 - sqrt(5)))^3 + 3 (root(3)(2 - sqrt(5)))^2 root(3)(2 + sqrt(5)) + 3 root(3)(2 - sqrt(5)) (root(3)(2 + sqrt(5)))^2 + (root(3)(2 + sqrt(5)))^3

x^3 = 2 - sqrt(5) + 3 root(3)(2 - sqrt(5)) root(3)(2 + sqrt(5)) (root(3)(2 - sqrt(5)) + root(3)(2 + sqrt(5))) + 2 + sqrt(5)

x^3 - 4 = 3 root(3)(2 - sqrt(5)) root(3)(2 + sqrt(5)) (root(3)(2 - sqrt(5)) + root(3)(2 + sqrt(5)))

Passo 2

Porém, note que root(3)(2 - sqrt(5)) + root(3)(2 + sqrt(5)) = x , e além disso,

root(3)(2 - sqrt(5)) root(3)(2 + sqrt(5)) = root(3)((2 - sqrt(5)) (2 + sqrt(5))) = root(3)(4 - 5) = root(3)(- 1) = - 1

Então, obtemos a seguinte equação:

x^3 - 4 = 3 (- 1) (x)

x^3 + 3 x - 4 = 0

Note que x = 1 é uma raiz real dessa equação, então podemos dividir o polinômio x^3 + 3 x - 4 por x - 1 para obter a fatoração:

x^3 + 3 x - 4 = ( x - 1 ) ( x^2 + x + 4 )

Passo 3

Com a fatoração, obtemos que as outras possíveis raízes reais da equação cúbica devem ser obtidas aqui:

x^2 + x + 4 = 0

Porém, veja que o discriminante dessa equação quadrática é negativo, então ela não tem raízes reais. Logo, a única raiz real de x^3 + 3 x - 4 = 0 é x = 1 .

Mas perceba que x = root(3)(2 - sqrt(5)) + root(3)(2 + sqrt(5)) deve ser necessariamente uma raiz real dessa equação, pelo modo como a construímos. Ou seja, só podemos ter

root(3)(2 - sqrt(5)) + root(3)(2 + sqrt(5)) = 1

Logo, x = root(3)(2 - sqrt(5)) + root(3)(2 + sqrt(5)) é um número racional, pois 1 é racional.

Resposta

Racional

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