é racional ou irracional? Justifique.
Passo 1
Como temos raízes cúbicas, vamos elevar tudo ao cubo:
Passo 2
Porém, note que , e além disso,
Então, obtemos a seguinte equação:
Note que é uma raiz real dessa equação, então podemos dividir o polinômio por para obter a fatoração:
Passo 3
Com a fatoração, obtemos que as outras possíveis raízes reais da equação cúbica devem ser obtidas aqui:
Porém, veja que o discriminante dessa equação quadrática é negativo, então ela não tem raízes reais. Logo, a única raiz real de é .
Mas perceba que deve ser necessariamente uma raiz real dessa equação, pelo modo como a construímos. Ou seja, só podemos ter
Logo, é um número racional, pois é racional.
Resposta
Racional