Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 62
Demonstre, sem traçar, que o gráfico da função tem pelo menos duas interseções com o eixo no intervalo especificado.
Passo 1
Eaee, belezinha? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
Queremos demonstrar que no intervalo essa função terá pelo menos duas interseções com o eixo .
Para demonstrarmos isso, iremos utilizar o Teorema do Valor Intermediário.
Esse teorema afirma que se uma função contínua é definida em um intervalo fechado , então para qualquer valor entre e , existe pelo menos um valor no intervalo aberto tal que .
Passo 2
Sabemos que é contínua no intervalo , uma vez que é uma função polinomial e racional.
Obs: A gente colocou aquele (um número que tende a zero pela direita) ali no intervalo pois se colocássemos ocorreria uma indeterminação em .
Agora vamos substituir alguns valores desse intervalo e analisar os seus valores.
Para , temos:
Para , temos:
E, para , temos:
Passo 3
Aplicando o teorema do valor intermediário para os intervalos e depois em , vemos que existem números e em e tal que e .
Em termos mais simples, notamos que houveram duas trocas de sinais, que indicam o cruzamento no eixo .
Sendo assim, tem pelo menos dois pontos interceptando o eixo no intervalo .
Resposta
Demonstração