Demonstre, sem traçar, que o gráfico da função tem pelo menos duas interseções com o eixo x no intervalo especificado.

y = x^2 - 3 + 1 / x

0,2

Passo 1

Eaee, belezinha? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

y = x 2 - 3 + 1 x

Queremos demonstrar que no intervalo 0,2 essa função terá pelo menos duas interseções com o eixo x .

Para demonstrarmos isso, iremos utilizar o Teorema do Valor Intermediário.

Esse teorema afirma que se uma função contínua f ( x ) é definida em um intervalo fechado [ a , b ] , então para qualquer valor y entre f ( a ) e f ( b ) , existe pelo menos um valor c no intervalo aberto ( a , b ) tal que f ( c ) = y .

Passo 2

Sabemos que f x = x 2 - 3 + 1 x é contínua no intervalo 0 + , 2 , uma vez que f é uma função polinomial e racional.

Obs: A gente colocou aquele 0 + (um número que tende a zero pela direita) ali no intervalo pois se colocássemos 0 ocorreria uma indeterminação em 1 x .

Agora vamos substituir alguns valores desse intervalo e analisar os seus valores.

Para f 1 4 , temos:

f 1 4 = 1 4 2 - 3 + 1 1 4 ∴

f 1 4 = 17 16 > 0

Para f 1 , temos:

f 1 = 1 2 - 3 + 1 1 ∴

f 1 = - 1 < 0

E, para f 2 , temos:

f 2 = 2 2 - 3 + 1 2 ∴

f 2 = 3 2 > 0

Passo 3

Aplicando o teorema do valor intermediário para os intervalos 1 4 , 1 e depois em [ 1,2 ] , vemos que existem números c e d em ( 1 / 4,1 ) e ( 1,2 ) tal que f c = 0 e f d = 0 .

Em termos mais simples, notamos que houveram duas trocas de sinais, que indicam o cruzamento no eixo x .

Sendo assim, f tem pelo menos dois pontos interceptando o eixo x no intervalo ( 0,2 ) .

Resposta

Demonstração

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