Enunciado

Seja L 1 a reta que passa pela origem e pelo ponto (2, 0, -1). Seja L 2   a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, -1, 1) e (4, 1, 3). Encontre a distância entre L 1 e L 2 .

Passo 1

Vamos escrever as equações paramétricas das retas primeiro...

O vetor de L 1 ... 2,0 , - 1 (considerando a origem como ponto de saída), então...

L 1 : x = 2 t ; y = 0 ; z = - t

O vetor de L 2 …  

3,2 , 2

Então...

L 2 : x = 1 + 3 s ; y = - 1 + 2 s ; z = 1 + 2 s

Vemos que os vetores não são múltiplos, e as retas não se intersectam. Ou seja, são reversas.

Passo 2

Podemos escrever dois planos paralelos que possuem essas retas então.

Precisamos de um vetor normal que seja comum aos dois, para isso, vamos fazer

2,0 , - 1 ×   3,2 , 2

Fazendo o determinante da matriz, a gente encontra o vetor normal 2 , - 7,4 .

Então os planos têm esse vetor, e passam pelos pontos da reta. Aí encontramos os dois, que podem ser:

2 x - 7 y + 4 z = 0

2 x - 7 y + 4 z - 13 = 0

Beleza, são dois planos paralelos e precisamos da distância entre eles.

Isso a gente acha fazendo:

D =   | d 1 - d 2 | a 2 + b 2 + c 2

Então é só a gente substituir aí agora...

Passo 3

D =   | 0 - ( - 13 ) | 2 2 + - 7 2 + 4 2 = 13 69

Pronto! Essa é a distância entre as retas😉

Resposta

D =   13 69

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Utilize a fórmula que aparece no Exercício 39 da seção 12.4 para determinar a distância do ponto à reta dada. ( 1,2 , 3 ) ; x = 2 + t ,y = 2 - 3 t ,z = 5 t
Sejam A = ( 1 ,2 ,5 ) e B = ( 0 ,1 ,0 ) . Determine o ponto P da reta A B tal que P B → = 3 P A → . Este exercício é uma homenagem a Santos Dumont.
Sejam A = ( 1 ,2 ,3 ) e B = ( - 2 ,3 ,0 ) . Escreva equações da reta A B nas formas vetorial, paramétrica e simétrica e obtenha os pontos da reta que distam 2 19 de A .
Sejam A = 1 ,1 ,1 e r : X = 1 ,1 ,4 + λ ( 1 ,- 1 ,0 ) . Obtenha os pontos de r que distam 11 de A . Em seguida verifique se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a 11 e justifique su
Sejam A = 1 ,1 ,1 ,B = ( 0 ,0 ,1 ) e r : X = 1 ,0 ,0 + λ ( 1 ,1 ,1 ) . Determine os pontos de r equidistantes de A e B .