Seja L1 a reta que passa pela origem e pelo ponto (2, 0, -1). Seja L₂ a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, -1, 1) e (4, 1, 3). Encontre a distância entre L1 e L₂ .

Passo 1

Vamos escrever as equações paramétricas das retas primeiro...

O vetor de L 1 ... 2,0 , - 1 (considerando a origem como ponto de saída), então...

L 1 : x = 2 t ; y = 0 ; z = - t

O vetor de L 2 …  

3,2 , 2

Então...

L 2 : x = 1 + 3 s ; y = - 1 + 2 s ; z = 1 + 2 s

Vemos que os vetores não são múltiplos, e as retas não se intersectam. Ou seja, são reversas.

Passo 2

Podemos escrever dois planos paralelos que possuem essas retas então.

Precisamos de um vetor normal que seja comum aos dois, para isso, vamos fazer

2,0 , - 1 ×   3,2 , 2

Fazendo o determinante da matriz, a gente encontra o vetor normal 2 , - 7,4 .

Então os planos têm esse vetor, e passam pelos pontos da reta. Aí encontramos os dois, que podem ser:

2 x - 7 y + 4 z = 0

2 x - 7 y + 4 z - 13 = 0

Beleza, são dois planos paralelos e precisamos da distância entre eles.

Isso a gente acha fazendo:

D =   | d 1 - d 2 | a 2 + b 2 + c 2

Então é só a gente substituir aí agora...

Passo 3

D =   | 0 - ( - 13 ) | 2 2 + - 7 2 + 4 2 = 13 69

Pronto! Essa é a distância entre as retas😉

Resposta

D =   13 69

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