Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.3 - Ex. 55

A queda de uma pedra em uma lago gera ondas circulares que se espalham a uma velocidade de .

(a) Expresse o raio desse círculo como uma função do tempo (em segundos).

(b) Se é a área do círculo como uma função do raio, encontre e interprete-a.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

Bom, o exercício nos diz que a queda da pedra gerou ondas circulares que se espalham a cada segundo.

Esse é o valor que o raio aumenta a cada segundo, porque o quanto a onda se espalhou (seta vermelha na figura) é medido através da diferença entre um círculo e outro dentro de um período de tempo, assim como na figura:

Na letra (a) queremos saber a função que descreve o valor do raio de acordo com o tempo e em (b) queremos entender a função composta da área do círculo e do crescimento do raio.

Ah, vale lembrar que uma função composta do tipo é dada da seguinte forma:

Agora vamos por partes! 😉

Passo 2

Vamos criar uma função que nos dê o valor do raio de acordo com o tempo que se passou da queda.

Como ele aumenta a cada segundo, podemos pegar a varíavel e multiplicar pelo tanto que o raio cresce a cada segundo:

Beleza, temos a nossa função.

Aqui, o raio depende do tempo , por isso a notação .

Passo 3

Agora, para a letra (b), temos que lembrar da área do círculo:

E então fazer a função composta , substituindo todo da função pela função inteira de .

Calculando, temos:

Okay, mas o que isso significa?

Essa função agora indica a área do círculo que a onda formou, tem como base apenas o tempo.

Quando substituímos todo de pela função achada na letra (a), estamos indicando que o raio segue certa “regra”, então conseguimos saber a área tendo somente o tempo desde a queda , sem precisar fazer o cálculo do raio.