Enunciado

A queda de uma pedra em uma lago gera ondas circulares que se espalham a uma velocidade de 60   c m / s .

(a) Expresse o raio desse círculo como uma função do tempo t (em segundos).

(b) Se A é a área do círculo como uma função do raio, encontre A   ∘   r e interprete-a.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

Bom, o exercício nos diz que a queda da pedra gerou ondas circulares que se espalham 60   c m a cada segundo.

Esse é o valor que o raio aumenta a cada segundo, porque o quanto a onda se espalhou (seta vermelha na figura) é medido através da diferença entre um círculo e outro dentro de um período de tempo, assim como na figura:

Na letra (a) queremos saber a função que descreve o valor do raio de acordo com o tempo e em (b) queremos entender a função composta da área do círculo e do crescimento do raio.

Ah, vale lembrar que uma função composta do tipo f ∘ g é dada da seguinte forma:

f ∘ g = f g x

Agora vamos por partes! 😉

Passo 2

Vamos criar uma função que nos dê o valor do raio de acordo com o tempo que se passou da queda.

Como ele aumenta 60   c m a cada segundo, podemos pegar a varíavel t   ( t e m p o ,   e m   s e g u n d o s ) e multiplicar pelo tanto que o raio cresce a cada segundo:

r t = 60 ∙ t

Beleza, temos a nossa função.

Aqui, o raio r depende do tempo t , por isso a notação r ( t ) .

Passo 3

Agora, para a letra (b), temos que lembrar da área A do círculo:

A r = π r 2

E então fazer a função composta A ∘   r , substituindo todo r da função A pela função inteira de r ( t ) .

A ∘   r = A r t

A ∘   r = π 60 t 2

Calculando, temos:

A ∘   r = 3600 π t 2 = A r

Okay, mas o que isso significa?

Essa função agora indica a área do círculo que a onda formou, tem como base apenas o tempo.

Quando substituímos todo r de A ( r ) pela função achada na letra (a), estamos indicando que o raio segue certa “regra”, então conseguimos saber a área tendo somente o tempo desde a queda A ( t ) , sem precisar fazer o cálculo do raio.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(a) r t = π r 2

(b) A ∘   r = 3600 π r 2 , que é a área do círculo em função do raio apenas.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: f ∘ f f x = x - 5 ; g x = x 2 - 1
Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: g ∘ f f x = 1 x ; g x = x
Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: f ∘ g f x = | x | ; g x = | x + 2 |
Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: g ∘ g f x = x ; g x = - 1 x
Estão definidas as funções f e g . Defina a seguinte função e determine o domínio da função composta: f ∘ g f x = x ; g x = - 1 x