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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 7c

Calcule:

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, e^x e cos x vamos usar a integração por partes da seguinte maneira:

int u d v = u v - int v d u

Para esse caso, tanto faz qual vamos escolher como u o u d v , porque as duas escolhas ficam assim:

u = cos x -> d u = - sin x d x e v = e^x -> d v = e^x d x

u = e^x -> d u = e^x d x e v = sin x -> d v = cos x d x

Vamos ver que quando montarmos a integral vai cair em outra integração por partes e por isso tanto faz qual você escolhe, no fim vai dar no mesmo, vamos escolher a primeira:

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = [e^x cos x - int e^x (- sin x) d x] ((pi)/(2))/(0)

Passo 2

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = [e^x cos x - int e^x (- sin x) d x] ((pi)/(2))/(0)

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = [e^x cos x + int e^x (sin x) d x] ((pi)/(2))/(0)

Temos a integral int e^x (sin x) d x que vai cair numa integração por partes de novo

Vamos usar: u = sin x -> d u = cos x d x e v = e^x -> d v = e^x d x

int e^x (sin x) d x = e^x sin x - int e^x cos x d x

Agora que temos int e^x (sin x) d x vamos substituir:

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = [e^x cos x + int e^x (sin x) d x] ((pi)/(2))/(0)

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = [e^x cos x + e^x sin x - int e^x cos x d x] ((pi)/(2))/(0)

Dá pra ver que dos dois lados temos a equação int e^x cos x d x , podemos então passar pro outro lado e somar:

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = [e^x cos x + e^x sin x] ((pi)/(2))/(0) - int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x + int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = [e^x cos x + e^x sin x] ((pi)/(2))/(0)

2 int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = [e^x cos x + e^x sin x] ((pi)/(2))/(0)

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = (1)/(2) [e^x cos x + e^x sin x] ((pi)/(2))/(0)

Passo 3

Ok! Temos, agora, apenas que usar o teorema fundamental do cálculo que diz:

Que se F (x) é uma primitiva de f (x) , então podemos dizer que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Então vamos usar que o nosso F (x) = e^x cos x + e^x sin x , e a = (pi)/(2) e b = 0 :

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = (1)/(2) (e^((pi)/(2)) cos ((pi)/(2)) + e^((pi)/(2)) sin ((pi)/(2)) - (e^0 cos 0 + e^0 sin 0))

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = (1)/(2) (e^((pi)/(2)) (0) + e^((pi)/(2)) (1) - (1 (1) + 1 (0)))

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = (1)/(2) (e^((pi)/(2)) - 1) = (e^((pi)/(2)) - 1)/(2)

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = (e^((pi)/(2)) - 1)/(2)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) e^x cos x d x = (e^((pi)/(2)) - 1)/(2)

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