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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 7d

Calcule:

int_0^x t^2 e^(- s t) d t

Passo 1

Para esse caso essas duas funções, t^2 e e^(- s t) vamos usar a integração por partes da seguinte maneira:

int u d v = u v - int v d u

Sempre que tivermos um polinômio, é preferível escolher o polinômio como u , nesse caso:

u = t^2 -> d u = 2 t d t e v = - (e^(- s t))/(s) -> d v = e^(- s t) d t

Vai ficar assim:

int_0^x t^2 e^(- s t) d t = [- (t^2 e^(- s t))/(s) - int - (e^(- s t))/(s) (2 t) d t] (x)/(0)

int_0^x t^2 e^(- s t) d t = [- (t^2 e^(- s t))/(s) + (2)/(s) int e^(- s t) (t) d t] (x)/(0)

Passo 2

int_0^x t^2 e^(- s t) d t = [- (t^2 e^(- s t))/(s) + (2)/(s) int e^(- s t) (t) d t] (x)/(0)

Temos a integral int e^(- s t) (t) d t que vai cair numa integração por partes de novo

Vamos usar: u = t -> d u = d t e v = - (e^(- s t))/(s) -> d v = e^(- s t) d x

int t e^(- s t) d t = - (e^(- s t))/(s) t - int - (e^(- s t))/(s) d t

int t e^(- s t) d t = - (e^(- s t))/(s) t + (1)/(s) int e^(- s t) d t

Para calcular:

int e^(- s t) d t

Vamos fazemos uma substituição tal que w = - s t -> d w = - s d t -> - (d w)/(s) = d t

int e^(- s t) d t = - (1)/(s) int e^w d w = - (1)/(s) e^w = - (1)/(s) e^(- s t)

Substituindo:

int t e^(- s t) d t = - (e^(- s t))/(s) t + (1)/(s) (- (1)/(s) e^(- s t)) = - (e^(- s t))/(s) t - (1)/(s^2) e^(- s t)

Agora que temos int t e^(- s t) d t vamos substituir:

int_0^x t^2 e^(- s t) d t = [- (t^2 e^(- s t))/(s) + (2)/(s) int e^(- s t) (t) d t] (x)/(0)

int_0^x t^2 e^(- s t) d t = [- (t^2 e^(- s t))/(s) + (2)/(s) (- (e^(- s t))/(s) t - (1)/(s^2) e^(- s t))] (x)/(0)

int_0^x t^2 e^(- s t) d t = [- (t^2 e^(- s t))/(s) - 2 (e^(- s t))/(s^2) t - 2 (1)/(s^3) e^(- s t)] (x)/(0)

Passo 3

Ok! Temos, agora, apenas que usar o teorema fundamental do cálculo que diz:

Que se F (t) é uma primitiva de f (t) , então podemos dizer que:

int_a^b f (t) d t = F (b) - F (a)

Então vamos usar que o nosso F (t) = - (t^2 e^(- s t))/(s) - 2 (e^(- s t))/(s^2) t - 2 (1)/(s^3) e^(- s t) , e a = x e b = 0 :

[- (x^2 e^(- s x))/(s) - 2 (e^(- s x))/(s^2) x - 2 (1)/(s^3) e^(- s x) - (- ((0)^2 e^(- s ( 0 )))/(s) - 2 (e^(- s ( 0 )))/(s^2) (0) - 2 (1)/(s^3) e^(- s ( 0 )))]

int_0^x t^2 e^(- s t) d t = - (x^2 e^(- s x))/(s) - 2 (e^(- s x))/(s^2) x - 2 (1)/(s^3) e^(- s x) - (- 2 (1)/(s^3) (1)) =

= - (x^2 e^(- s x))/(s) - 2 (e^(- s x))/(s^2) x - (2)/(s^3) e^(- s x) + (2)/(s^3)

Resposta

int_0^x t^2 e^(- s t) d t = - (x^2 e^(- s x))/(s) - 2 (e^(- s x))/(s^2) x - (2)/(s^3) e^(- s x) + (2)/(s^3)

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Use integração por partes para demonstrar a fórmula de redução. ∫ ln ⁡ x n d x = x ln ⁡ x n - n ∫ ln ⁡ x n - 1 d x
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Calcule a integral.int_1^2 (ln x)/(x^2) d x
Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. ∫ x 2 ln ⁡ x d x ;u = ln ⁡ x , d v = x 2 d x
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