Enunciado

Raciocinando geometricamente, determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A , bem como os pontos em que estes valores são atingidos.

  1. f x , y = y x - 1 e A o círculo x - 3 2 + y - 1 2 ≤ 1 .

Passo 1

Sejam f x , y = y x - 1 e A = x , y ∈ R 2 |   x - 3 2 + y - 1 2 ≤ 1 . As curvas de nível de f são as retas:

y x - 1 = c

y = c x - 1

Passo 2

Olhando o esboço do gráfico:

O ponto de mínimo de f é f 3,0 = 0 porque é a tangente que passa pelo ponto 1,0 e 3,0 .

Passo 3

Já o ponto de máximo também tem que passar pelo ponto 1,0 e tangenciar o círculo.

x - 3 2 + y - 1 2 = 1

x 2 - 6 x + 9 + y 2 - 2 y + 1 = 1

x 2 - 6 x + 9 + c x - 1 2 - 2 c x - 1 = 0

x 2 - 6 x + 9 + c 2 x 2 - 2 x + 1 - 2 c x + 2 c = 0

x 2 - 6 x + 9 + c 2 x 2 - 2 c 2 x + c 2 - 2 c x + 2 c = 0

x 2 1 + c 2 + x - 6 - 2 c 2 - 2 c + 9 + c 2 + 2 c = 0

Aplicando Bhaskara, o :

∆ = - 6 - 2 c 2 - 2 c 2 - 4 1 + c 2 9 + c 2 + 2 c = 0

4 c 4 + 8 c 3 + 28 c 2 + 24 c + 36 - 4 c 4 - 8 c 3 - 40 c 2 - 8 c - 36 = 0

- 12 c 2 + 16 c = 0

c - 12 c + 16 = 0

Assim,

c 1 = 0 → V a l o r   m í n i m o

- 12 c 2 + 16 = 0 → c 2 = 16 12 = 4 3 → V a l o r   m á x i m o

Passo 4

Agora para calcular o ponto em que o valor máximo é atingido:

x = - - 6 - 2 c 2 - 2 c ± ∆ 2 1 + c 2

x = - - 6 - 2 4 3 2 - 2 4 3 ± 0 2 1 + 4 3 2

x = - - 6 - 32 9 - 8 3 2 1 + 16 9 = - - 54 9 - 32 9 - 24 9 2 9 9 + 16 9 = 110 9 50 9 = 110 50 = 11 5

Jogando agora na equação da reta tangente:

y = c x - 1

y = 4 3 11 5 - 1 = 4 3 11 5 - 5 5 = 4 3 ∙ 6 5 = 8 5

Prontinho!!!

Resposta

f 3,0 = 0

f 11 5 , 8 5 = 4 3

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