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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 23

Referindo-se ao Problema 19 , resolva o sistema de equações dado em cada um dos problemas de 20   a 23 . Suponha que t > 0

t x ' = 3 - 2 2 - 2 x

Passo 1

Não vou ficar me repetindo aqui, por que talvez tenha dado para entender, que a solução desse sistema de 2 linhas será:

x = c 1 ξ 1 t r 1 + c 2 ξ 2 t t 2

E fazendo o determinante para encontrar os determinantes nós teremos:

d e t 3 - r - 2 2 - 2 - r = 0

3 - r - 2 - r - 2 × - 2 = 0

r 2 + - 3 + 2 r - 6 + 4 = 0

r 2 - r - 2 = 0

O que nos dá auto valores iguais a:

r 1 = - 1 ; r 2 = 2

Então nossa solução terá a seguinte forma:

x = c 1 ξ 1 t - 1 + c 2 ξ 2 t 2

Passo 2

Então o auto vetor ξ 1 associado ao auto valor r 1 = - 1 será:

3 + 1 - 2 2 - 2 + 1 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Onde ξ 1 = ξ 1 1 ξ 2 1

4 - 2 2 - 1 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Então a relação entre ξ 1 1 e ξ 2 1 é:

4 ξ 1 1 - 2 ξ 2 1 = 0

2 ξ 1 1 = ξ 2 1

Então o auto vetor será ξ 1 será:

ξ 1 = 1 2

Logo a solução causada por esse auto valor será:

x 1 = c 1 1 2 t - 1

Passo 3

Agora a solução causada pelo auto valor r = 2 será:

3 - 2 - 2 2 - 2 - 2 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

1 - 2 2 - 4 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Fazendo a multiplicação matricial.

ξ 1 2 - 2 ξ 2 2 = 0

Então a relação entre ξ 1 2 e ξ 2 2 será:

ξ 1 2 = 2 ξ 2 2

Logo o auto vetor será:

ξ 2 = 2 1

Logo a solução causada por esse auto vetor será:

x 2 = c 2 2 1 t 2

Então a solução geral será:

x = c 1 1 2 t - 1 + c 2 2 1 t 2

Resposta

x = c 1 1 2 t - 1 + c 2 2 1 t 2

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