Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 33
33- Considere o sistema precedente de equações diferenciais
Encontre uma condição que e têm que satisfazer para que os autovalores da matriz de coeficientes sejam reais e distintos
Se a condição encontrada no item for satisfeita, mostre que ambos os autovalores serão negativos. Depois, mostre que e quando , independente das condições iniciais
Se a condição encontrada no item não for satisfeita, então os autovalores serão complexos ou repetidos. Você acredita que e quando também nesses casos?
Sugestão: Uma abordagem possível para o item é transformar o sistema em uma única equação de segunda ordem. Vamos, também, discutir autovalores complexos e repetidos nas Seções e .
Passo 1
Basicamente se quer que faça a mesma coisa que na questão passada só que de maneira teórica, sem aplicar os valores, simbora?
O circuito tem o seguinte sistema:
Resolvendo os autovalores nós temos:
Fazendo a determinante vamos obter:
Para que essa equação tenha raízes reais e distintas nós temos que garantir que de Bhaskara seja maior que xero, ou seja:
O que se reduz para:
E essa é a condição necessária para termos autovalores reais e distintos.
Passo 2
Como todos os valores são positivos então temos pela soma das raízes que:
A soma dos valores é negativa.
E o produto:
E o produto é positivo. Isso só pode acontecer se as duas raízes forem negativas. Pois:
O único que bate as duas condições é caso os dois sejam negativos. Então a solução será alguma coisa do tipo:
Então se fizermos limite de tendendo a zero, tanto e tanto tenderão a zero, configurando em um sistema estável. E isso não importa nem de e nem dos autovetores.
Passo 3
Para serem complexos e repetidos então ou seja:
E essa parte será a parte imaginária a parte real será dada por:
E um sistema com pólos complexos e repetidos é um sistema oscilante.