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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.7 - Ex. 59

Região delimitada por paraboloides Encontre o volume da

região delimitada superiormente pelo paraboloide z = 5 – x2 – y2

e inferiormente pelo paraboloide z = 4x2 + 4y2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que volumes de regiões D definidas podem ser encontrados pelo cálculo da integral tripla definidas pelas superfícies delimitantes.Nesta questão vamos encontrar o volume de uma região limitada na parte superior por um paraboloide de equação z = 5 - x 2 - y 2 e na parte inferior pelo paraboloide de equação z = 4 x 2 + 4 y 2 .

Passo 2

O volume para o sólido em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:

V = ∭ D   f ( r , θ , z ) d V

A primeira integração é feita em relação a z , seguido de θ e por fim em relação a r .

Sabemos também que r e θ são projeções no plano xy e z é a coordenada vertical cartesiana.

Passo 3

Vamos definir os limitantes sabendo que x 2 + y 2 = r 2 e r representa o raio de um círculo.Os parabolóides se interceptam quando:

4 x 2 + 4 y 2 = 5 - x 2 - y 2

Logo:

x 2 + y 2 = 1 z = 4 x 2 + 4 y 2 z = 4 x 2 + y 2 z = 4 ( 1 ) z = 4

Definimos pela interseção que o intervalor de r é dado por:

0 ≤ r ≤ 1

Assim, para z teremos:

4 r 2 ≤ z ≤ 5 - r 2

Por fim, teremos o ângulo θ com o intervalo para o primeiro quadrante:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Agora podemos escrever a integral tripla que representa o volume desejado da região:

V   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     ∫ 4 r 2 5 - r 2     d z r d r d θ   = 4 ∫ 0 π / 2     ∫ 0 1     5 r - 5 r 3 d r d θ   = 20 ∫ 0 π / 2     r 2 2 - r 4 4 0 1 d θ   = 5 ∫ 0 π / 2     d θ   = 5 π 2

Resposta

Portanto, o volume da região delimitada por dois paraboloides é 5 π 2 unidades de volume.

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize coordenadas cilíndricas.Calcule ∭ E x d V , onde E está delimitado pelos planos z = 0 e z = x + y + 3 e pelos cilindros x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 .
int_0^(2 pi) int_0^3 int_0^(z // 3) r^3 d r d z d theta
int_0^(2 pi) int_0^((theta)/(2 pi)) int_0^(3 + 24 r^2) d z r d r d theta
int_(- 1)^1 int_0^(2 pi) int_0^(1 + cos (theta)) 4 r d r d theta d z
int_0^(2 pi) int_0^1 int_r^((1)/(sqrt(2 - r^2))) 3 d z r d r d theta