Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 10
Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule , onde está delimitado pelos planos e e pelos cilindros e .
Passo 1
E aí, pessoal! Firmeza?
A questão pede o valor da integral
Onde está delimitado pelos planos
E
e pelos cilindros
e
Show de bola, galera.... Pra resolver essa questão não tem mistério.
Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas cilíndricas...As relações entre coordenadas cilíndricas e coordenadas retangulares são dadas da seguinte forma:
E:
Então, o que precisamos fazer aqui é acharmos nossos limites de integração pela descrição que o enunciado deu da região , passar esses limites para coordenadas cilíndricas e, a partir daí, calcular nossa integral tripla de forma iterada, começando com as integrais de dentro e deixando a de fora por último.
Vamos lá? 
Passo 2
Vamos começar definindo nossos limites de integração:
Sabendo que
e que
traduzimos a informação de que a região está entre os cilindros
E
como sendo:
Substituindo pelos valores de e para coordenadas cilíndricas, temos:
Agora a gente usa a identidade trigonométrica:
Assim, substituindo a identidade e tirando a raiz quadrada da equação, temos então a variação da nossa variável :
A informação de que a região está entre os planos
e
pode ser traduzida da seguinte forma:
Aqui novamente vamos usar a conversão de e para coordenadas cilíndricas:
Além disso, como não temos restrição para o ângulo , temos que:
Assim, ficamos com a seguinte integral:
Note que deixamos “pra dentro” a integral com função nos limites de integração, elas tem que ser feitas antes das integrais com limites de integração numéricos.
Passo 3
Calculando a integral:
Começando em , tratando as demais variáveis como constante e aplicando os limites de integração, ficamos com:
Distribuindo nosso termo nos termos da soma dentro dos parênteses e separando a integral da soma numa soma de integrais:
Passo 4
Como temos produtos de funções dentro das nossas integrais, podemos separar cada função com sua respectiva variável de integração. Faremos isso com cada uma das integrais:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
- Terceira integral:
Integrando em relação a cada variável:
Aplicando os limites de integração, chegamos em:
Integrando em relação a cada variável:
Aplicando os limites de integração, chegamos em:
Integrando em relação a cada variável:
Aplicando os limites de integração:
Passo 5
Agora que calculamos cada termo da nossa soma:
Somamos nossos resultados:
Então, nosso resultado final é: