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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 75

Setor circular Integre f ( x , y ) = 4 - x 2 sobre o setor menor cortado do disco x 2 + y 2 ≤ 4 pelos raios θ = π / 6 e θ = π / 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício iremos calcular a integral da função f ( x , y ) = 4 - x 2 sobre o menor setor no círculo x 2 + y 2 ≤ 4 recortado pelos eixos θ = π / 6 e θ = π / 2 .

Passo 2

Note que para θ = π / 6 em um círculo com raio 2 temos:

x = 2 c o s ⁡ π 6 = 3

e:

y = 2 s e n ⁡ π 6 = 1

Então o encontro do eixo com o círculo se dá no ponto ( 3 , 1 ) , sendo assim, a linha horizontal y = x 3 será o limite de integração inferior em y.

Como a região de integração se dá entre θ = π / 6 e θ = π / 2 , o intervalo de integração em x se dá entre 0 e 3 pelo fato de que θ = π / 2 é uma linha vertical e paralela ao eixo y.

Passo 3

Sendo assim, integraremos:

∫ 0 3   ∫ x / 3 4 - x 2   x 2 - 4 d y d x

Agora integrando em y:

  ∫ 0 3     x 2 - 4 [ y ] x / 3 4 - x 2 d x   ∫ 0 3     x 2 + 4 - x 3 4 - x 2 d x

Passo 4

E integrando e m x :

x 3 3 + 4 x - x 3 3 4 - x 2 3 / 2 0 3 ( 3 ) 3 3 + 4 3 - 3 3 3 4 - ( 3 ) 2 3 / 2 20 3 9

Resposta

Portanto o resultado da integral é: 20 3 9 .

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