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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 13f

Com relação à função dada, determine a raízes (caso existam), o maior ou o menor valor e esboce o gráfico.

f ) f x = 2 x 2 - 3 x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão. Bora lá? Bom, a f ( x ) é uma função de segunda ordem, portanto a cara dela é de uma parábola. E para desenhar, precisamos de quatro pontos:

  • As duas raízes (onde o gráfico corta o eixo x   ∴ f x = 0 );
  • O ponto do termo independente (onde o gráfico corta o eixo y   ∴ f ( 0 ) )
  • E o vértice: que mostra onde o gráfico vai apresentar o valor máximo (se a parábola tiver boca para baixo ( a < 0 ) ) ou um mínimo (se a parábola tiver boca para cima ( a > 0 ) ).

Então vamos aos pontos?

Passo 2

Vamos achar as raízes da função:

2 x 2 - 3 x = 0

Usando a fórmula de Bhaskara temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - ( - 3 ) ± ( - 3 ) 2 - 4.2 . 0 2.2 = 3 ± 9 4

Então as duas raízes são:

x 1 = 3 + 3 4 = 6 4 = 3 2   ; 3 2 , 0

x 2 = 3 - 3 2 = 0   ; ( 0,0 )

E já vou aproveitar e determinar onde a função corta o eixo vertical: f ( 0 ) :

f 0 = 0 2 - 3.0 = 0

Certo! Achamos o ponto ( 0,0 ) .

Passo 3

Por fim, vamos ao vértice. A coordenada x do vértice é x v = - b / 2 a então:

x v = - ( - 3 ) 2.2 = 3 4

E a coordenada y é dada por y v = - Δ / 4 a :

y v = - - ( 9 ) 4.2 = - 9 8

Perfeito! O outro ponto é 3 4 , - 9 8 . Como essa parábola tem a = 2 > 0 , ela tem boca para cima, então o y do vértice representa o valor mínimo que ela pode assumir.

O menor valor que a parábola assume é:

f 3 4 = - 9 8

Passo 4

Relembrando:

  • Raízes: 3 2 , 0 e ( 0,0 ) ;
  • Ponto onde corta o eixo y : ( 0,0 )
  • Vértice (mínimo): 3 4 , - 9 8

Agora é só esboçar o gráfico:

Resposta

0,0 ; 3 2 , 0 ; f 3 4 = - 9 8

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