Mostre que a solução do problema de valor inicial

y' = x + y, y(x₀) = y₀

é

y = -1 - x + (1 + x_0 + y_0) * e^(x - x_0)

Passo 1

Vamos substituir x 0 na equação y :

y ( x 0 ) =   - 1 - x 0 + 1 + x 0 + y 0 e x 0 - x 0

Desenvolvendo...

y x 0 =   - 1 - x 0 + 1 + x 0 + y 0 e 0 =   - 1 - x 0 + 1 + x 0 + y 0 1 =   - 1 - x 0 + 1 + x 0 + y 0 = y 0

Passo 2

Agora vamos substituir a função y na função y ' :

y ' = x + y → y ' = x + - 1 - x + 1 + x 0 + y 0 e x - x 0 =   y ' =   - 1 + 1 + x 0 + y 0 e x - x 0

Temos então que y ' - x = y não é? Percebe que só “sumiu” o x dali?

Então, se y ' - x = y logo: y ' = x + y .

E assim mostramos o que foi pedido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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