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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 27

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = s e n   x cos ⁡ x     ,   0 ≤ x ≤ π

Passo 1

Primeiramente, vejamos que o domínio da função está restrito ao intervalo de 0 , π

Então, vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = cos ⁡ x   ( cos ⁡ x ) + - s e n   x   s e n   x = cos 2 ⁡ x - s e n 2 x = cos ⁡ 2 x (relação do arco duplo)

y ' ' = 2 cos ⁡ x   - s e n   x - 2   s e n   x   ( cos ⁡ x ) =   - 4 s e n   x cos ⁡ x =   - 2 s e n   2 x   (relação do arco duplo)

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = cos 2 ⁡ x - s e n 2 x = 0 → cos 2 ⁡ x = s e n 2 x  

x = π 4   e   x = 3 π 4

Esses são os valores para pontos críticos que estão no intervalo pedido.

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' π 4 =   - 2 < 0 e y ' ' 3 π 4 = 2 > 0

Temos então um ponto de máximo em π 4 e um ponto de mínimo em 3 π 4 .

Vamos testar também o valor da função nos extremos do intervalo:

y 0 = s e n   0 cos ⁡ 0 = 0

y π = s e n   π cos ⁡ π = 0

Então temos os pontos ( 0,0 ) e ( π ,   0 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

  y ' = cos ⁡ 2 x

Vamos testar os valores encontrados no passo anterior:

Então, a função é crescente em 0 , π 4 e ( 3 π 4 ,   π ) decrescente em π 4 , 3 π 4 . Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y ' ' =   - 2 sen ⁡ 2 x   .

Observe que s e n   2 x > 0   em 0 , π 2 . Porém, nesse intervalo a derivada segunda vai ser negativa, pois temos um -2 multiplicando.

Então, a concavidade do gráfico será para cima em π 2 ,   π e para baixo em 0 , π 2

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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