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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 1f

Resolva.

(d y)/(d x) = (y)/(x) , x > 0

Passo 1

Primeiro vamos calcular as funções constantes, para isso precisamos achar as raízes de h (y) , onde:

(d y)/(d x) = g (x) h (y)

Temos então que:

h (y) = y

Passo 2

Vamos então calcular as raízes igualando h (y) a 0 :

h (y) = y = 0

Temos então que as funções contantes são:

y = 0

Passo 3

Agora vamos achar as soluções não constantes através da integral:

int (d y)/(h (y)) = int g (x) d x

Temos que:

(d y)/(d x) = g (x) h (y) -> (d y)/(h (y)) = g (x) d x -> (d y)/(y) = (d x)/(x)

Que na integral fica:

int (d y)/(y) = int (d x)/(x) -> ln y = ln x + C -> e^(ln y) = e^(ln x + C) -> y = x e^C

Resposta

y = 0 ou y = x e^C

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