Resolva no conjunto dos números reais a equação

sen(2x) = 1 - cos(2x)

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Para resolver essa equação vamos utilizar a equação dada e a equação da relação fundamental da trigonometria. Iremos começar substituindo essas funções trigonométricas por variáveis para ajudar na visualização e não nos perdemos. Após isso, encontrada a solução precisamos lembrar de voltar aos termos iniciais da questão.

Abaixo temos o ciclo trigonométrico para ajudar na visualização.

Simbora!

Passo 2

sen ⁡ 2 x =   1 - cos ⁡ 2 x

sen ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x = 1

Vamos substituir o seno e o cosseno por duas variáveis.

Adotando: u = sen ⁡ 2 x v = cos ⁡ 2 x

Lembrando que a relação fundamental da trigonometria é dada por:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Então,

sen ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x = 1 sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Utilizando nossa substituição:

u + v = 1 u 2 + v 2 = 1

Isolando v na 1ª equação e substituindo-o na 2ª equação, temos:

u 2 + 1 - u 2 = 1

u 2 + 1 - 2 u + u 2 = 1

2 u 2 - 2 u = 0

Simplificando por 2 a equação e colocando u em evidência:

u u - 1 = 0

Assim, temos dois valores de u que fazem essa igualdade ser verdadeira. São eles: u = 0 u = 1

Então, a solução engloba essas duas situações.

Para u = 0 , o valor de v será:

u + v = 1 → v = 1 - u = 1 - 0 = 1

v = 1

Para u = 1 , o valor de v será:

u + v = 1 → v = 1 - u = 1 - 1 = 0

v = 0

Passo 3

Beleza, agora precisamos voltar a incógnita inicial do problema. Lembrando que: u = sen ⁡ 2 x v = cos ⁡ 2 x

Para a 1ª situação: u = 0 v = 1 → sin ⁡ 2 x = 0 cos ⁡ 2 x = 1 → x = k π

Para a 2ª situação: u = 1 v = 0 → sin ⁡ 2 x = 1 cos ⁡ 2 x = 0 → x = π 4 + k π

Agora sim, terminamos a questão. Uhuuull!

Resposta

x = k π ;   x = π 4 + k π

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