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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.3 - Ex. 3b

Sejam z e w dois complexos quaisquer. Verifique que:

b ) bar z . w = bar z . bar w ( O c o n j u g a d o d o p r o d u t o é o p r o d u t o d o s c o n j u g a d o s )

Passo 1

Se z e w são complexos podemos entender

z = a + b i -> bar z = a - b i

w = c + d i -> bar w = c - d i

Então se quisermos bar z . w precisamos calcular o produto dos dois e depois tirar o conjugado do resultado.

Já pro segundo caso precisamos apenas multiplicar o que já temos( bar z e bar w )

Passo 2

Para achar bar z . w vamos pegar z e w e achar o produto deles(lembrando que i^2 = - 1 ):

z . w = (a + b i) (c + d i) = a c + a d i + b c i + d b i^2 = a c + (a d + b c) i - d b

= (a c - d b) + (a d + b c) i

Ok! Agora que temos o valor de z . w vamos achar o conjugado desse valor.

Para isso vamos pegar o termo que multiplica o i e usar o oposto dele que é - (a d + b c) :

bar z . w = (a c - d b) - (a d + b c) i

Passo 3

Para achar bar z . bar w vamos fazer o produto dos conjugados de z e w :

bar z . bar w = (a - b i) (c - d i) = a c - a d i - c b i + d b i^2 = a c - a d i - c b i - d b

= (a c - d b) + (- a d - c b) i = (a c - d b) - (a d + c b) i

bar z . bar w = (a c - d b) - (a d + c b) i

Passo 4

Agora mostramos que eles são iguais:

bar z . w = (a c - d b) - (a d + b c) i

bar z . bar w = (a c - d b) - (a d + c b) i

bar z . w = bar z . bar w

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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