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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 1a

Calcule

underset(t -> 1)(lim) vec F ( t )

onde

vec F (t) = ((sqrt(t) - 1)/(t - 1) , t^2 , (t - 1)/(t))

Passo 1

Para calcular o limite de uma função de uma variável com imagem no R^n , calculamos o limite de cada coordenada separadamente.

Se vec F (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , vamos calcular primeiramente o limite de x

underset(t -> 1)(lim) (sqrt(t) - 1)/(t - 1)

Multiplicando o numerador e denominador por (sqrt(t) + 1)

= underset(t -> 1)(lim) [(sqrt(t) - 1)/(t - 1) * (sqrt(t) + 1)/(sqrt(t) + 1)] = underset(t -> 1)(lim) [(t - 1)/(t - 1) * (1)/(sqrt(t) + 1)]

= underset(t -> 1)(lim) (1)/(sqrt(t) + 1) = (1)/(2)

Passo 2

Agora da coordenada y

underset(t -> 1)(lim) t^2 = 1

Passo 3

E da coordenada z

underset(t -> 1)(lim) (t - 1)/(t) = 0

Então, temos que o limite da nossa função vec F quando t -> 1 é

underset(t -> 1)(lim) vec F ( t ) = ((1)/(2) , 1,0)

Resposta

((1)/(2) , 1,0)

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