1. Ache a solução geral.

s) dx/dt = 3x - e^(-t)

Passo 1

Foi provado no livro do Guidorizzi a seguinte solução:

(d x)/(d t) + a x = f (t)

São as funções da forma:

x = k e^(- a t) + e^(- a t) int e^(a t) f (t) d t

Passo 2

Dando uma melhorada na questão,

(d x)/(d t) - 3 x = - e^(- t)

Agora aplicando em nossa questão:

a = - 3 , f (t) = - e^(- t)

x = k e^(- (- 3) t) + e^(- (- 3) t) int e^((- 3) t) (- e^(- t)) d x

Passo 3

Resolvendo,

x = k e^(3 t) - e^(3 t) int e^(- 4 t) d x

= k e^(3 t) - e^(3 t) (- (e^(- 4 t))/(4))

= k e^(3 t) + (1)/(4) (e^(3 t))/(e^(4 t))

Resposta

x = k e^(3 t) + (1)/(4 e^t)

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