Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 69
Encontre a soma da série.
Passo 1
Salve, pessoal! Tudo joia?
Quando temos série de Taylor, que é o caso da nossa série:
A soma da série pode ser escrita como uma função que está sendo representada aqui como uma soma infinita de termos. No nosso caso temos uma série de Maclaurin (série de Taylor com ).
A ideia aqui então é manipularmos esse série e procurar nas nossas séries de Macluarin para as funções mais comuns que o nosso livro dá e tentarmos entender qual função foi usada para gerar essa série de Maclaurin.
Vamos ao passo a passo!
Passo 2
Para calcular essa soma, vamos manipular até que reconheçamos a série como uma série de Taylor.
Neste caso podemos transformar os numeradores em potencias de :
Podemos reconhecer o padrão que forma nossa série. Perceba que o numerador é sempre e o denominador é sempre . Então podemos escrever o termo geral dessa nossa série assim:
Temos uma série que está quase no formato da série de Maclaurin da função exponencial:
Mas a série de Maclaurin para começa em e na nossa série temos , então, temos um termo a menos. Para reescrever nossa série começando em temos que subtrair o valor do primeiro termo ( e fica assim:
Substituindo a série pela exponencial. O primeiro termo será 1 já que fatorial de zero é 1 e qualquer número elevado a 0 também é 1.