Encontre a soma da série.

3 + 9 / 2! + 27 / 3! + 81 / 4! + …

Passo 1

Salve, pessoal! Tudo joia?

Quando temos série de Taylor, que é o caso da nossa série:

3 + 9 2 ! + 27 3 ! + 81 4 ! + …

A soma da série pode ser escrita como uma função f x que está sendo representada aqui como uma soma infinita de termos. No nosso caso temos uma série de Maclaurin (série de Taylor com a = 0 ).

A ideia aqui então é manipularmos esse série e procurar nas nossas séries de Macluarin para as funções mais comuns que o nosso livro dá e tentarmos entender qual função foi usada para gerar essa série de Maclaurin.

Vamos ao passo a passo!

Passo 2

Para calcular essa soma, vamos manipular até que reconheçamos a série como uma série de Taylor.

Neste caso podemos transformar os numeradores em potencias de 3 :

3 + 9 2 ! + 27 3 ! + 81 4 ! + … = 3 + 3 2 2 ! + 3 3 3 ! + 3 4 4 ! + …

Podemos reconhecer o padrão que forma nossa série. Perceba que o numerador é sempre 3 n e o denominador é sempre n ! . Então podemos escrever o termo geral dessa nossa série assim:

= ∑ n = 1 ∞ 3 n n !

Temos uma série que está quase no formato da série de Maclaurin da função exponencial:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Mas a série de Maclaurin para e x começa em n = 0 e na nossa série temos n = 1 , então, temos um termo a menos. Para reescrever nossa série começando em n = 0 temos que subtrair o valor do primeiro termo ( n = 0 ) e fica assim:

∑ n = 1 ∞ 3 n n ! = ∑ n = 0 ∞ 3 n n ! - 3 0 0 !

Substituindo a série pela exponencial. O primeiro termo será 1 já que fatorial de zero é 1 e qualquer número elevado a 0 também é 1.

∑ n = 1 ∞ 3 n n ! = e 3 - 1

Resposta

e 3 - 1

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Use um sistema de computação algébrica para encontrar os polinômios de Taylor T_n centrados em a para n = 2, 3, 4, 5. Então, trace esses polinômios e f na mesma tela.f(x) = raiz(1 + x^2, 3), a = 0
(a) Encontre os polinômios de Taylor até o grau 3 de f(x) = x centrados em a = 0 . Trace f e esses polinômios na mesma tela.(b) Calcule f e esses polinômios em x = pi / 6, pi / 4 e pi / 3 .(c) Comente
Encontre o polinômio de Taylor T3(x) da função f em a . Trace f e T₃ na mesma tela.f(x) = e^(-x) * sen(x), a = 0
Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) ≈ T_n(x) quando x estiver no intervalo dado.Verifique seu resultado na p
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