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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 1g

  1. Ache a solução geral.

g) (d x)/(d t) + x = c o s 2 t

Passo 1

Foi provado no livro do Guidorizzi a seguinte solução:

(d x)/(d t) + a x = f (t)

São as funções da forma:

x = k e^(- a t) + e^(- a t) int e^(a t) f (t) d t

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

a = 1 , f (t) = c o s 2 t

x = k e^(- (1) t) + e^(- (1) t) int e^((1) t) c o s 2 t d t

Passo 3

Resolvendo,

x = k e^(- t) + e^(- t) int e^t c o s 2 t d t

= k e^(- t) + (e^(- t) (2 s e n 2 t + c o s 2 t) e^t)/(5)

= k e^(- t) + (2 s e n 2 t + c o s 2 t)/(5) e^t * e^(- t)

= k e^(- t) + (2 s e n 2 t + cos 2 t)/(5)

Resposta

x = k e^(- t) + (2 s e n 2 t + cos 2 t)/(5)

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