Resolva o problema de valor limite, se possível.

y'' + 4y' + 20y = 0, y(0) = 1, y(π) = e^(-2π)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar dessa EDO é:

r^2 + 4 r + 20 = 0

Resolvendo, temos que:

r = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

r = (- 4 +- sqrt(16 - 80))/(2)

Podemos dizer que as raízes são:

r = - 2 +- 4 i

Como as raízes possuem uma parte real e uma parte complexa, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y = e^(- 2 x) (c_1 cos 4 x + c_2 sen 4 x)

Onde c_1 e c_2 são constantes.

Passo 2

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar o valor das constantes:

y (0) = e^0 (c_1 cos (0) + c_2 sen (0))

1 = c_1 + 0

c_1 = 1

Para a segunda condição, temos:

y (pi) = e^(- 2 pi) (c_1 cos 4 pi + c_2 sen 4 pi)

e^(- 2 pi) = e^(- 2 pi) (1 + 0)

Essa condição de contorno nos diz que a solução independe de c_2 , ou seja, podemos ter infinitos valores de c_2 fornecendo assim infinitas soluções para o problema. Portanto:

y = e^(- 2 x) (cos 4 x + c_2 sen 4 x)

Onde c_2 é uma constante arbitrária.

Resposta

y = e^(- 2 x) (cos 4 x + c_2 sen 4 x)

Onde c_2 é uma constante arbitrária.

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