Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 21
Resolva a equação diferencial , usando a mudança de variáveis .
Passo 1
E aê, galera! O enunciado nos pede pra resolver uma equação diferencial, ou seja, temos que encontrar uma equação que nos dê em função somente de , não de . Mas a primeira coisa que a gente nota aqui é que a equação diferencial do enunciado não é separável:
Mas, para nossa alegria, já nos foi dada a dica de como resolver. Temos que fazer a seguinte mudança de variáveis:
Derivando os dois lados em relação a , extraímos mais informações que nos podem ser úteis mais tarde:
Às vezes a gente se depara com um tipo de questão que nunca resolvemos, e é esse o melhor a fazer primeiro: escreve o que o enunciado te dá, reescreve de outro jeito se for mais fácil de entender, manipula o que você tem pra tentar extrair mais informações ainda (no caso aqui, derivamos em relação a ). Depois disso o caminho da resolução pode ficar mais claro.
Passo 2
Olhando para as três equações que escrevemos no passo anterior, podemos tentar trabalhar com elas pra chegar a algum lugar.
Olhando para a primeira e a segunda, vemos que:
Substituindo essa derivada na terceira equação:
Agora sim! Chegamos a uma equação separável!
Passo 3
Galera, agora é só separar bonitinho, um lado da equação com , o outro com , e mandar ver na integração:
Voltando a substituir , e dando aquela ajeitadinha pra isolar o , ficamos assim:
Não ficou a função mais linda do mundo, mas o importante é que resolvemos a equação HAHAHA