Resolva a equação

sen(x + pi/4) - sen(x - pi/4) = raiz(2)

Passo 1

Ooie galerinha, tudo certo?

Para resolver esse sistema vamos utilizar a fórmula abaixo.

sen ⁡ A - sen ⁡ B = 2 ∙   sen ⁡ A - B 2 ∙ cos ⁡ A + B 2

Onde os coeficientes A e B do nosso sistema correspondem a: A = x + π 4 B = x - π 4

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as operações dentro dos argumentos das funções trigonométricas.

A - B 2 →     x + π 4 -   x - π 4 ∙ 1 2 = 2 ⃥ π 4 ∙ 1 2 ⃥ = π 4

A + B 2 →     x + π 4 +   x - π 4 ∙ 1 2 = 2 ⃥ x ∙ 1 2 ⃥ = x

Agora, substituindo esses valores:

2 ∙   sen ⁡ A - B 2 ∙ cos ⁡ A + B 2 =

2 ∙   sen ⁡ π 4 ∙ cos ⁡ x

2 ⃥ ∙ 2 2 ⃥ ∙ cos ⁡ x

2  cos ⁡ x

Passo 3

Ok! Colocando na equação final:

sin ⁡ x + π 4 - sin ⁡ x - π 4 =   2

sen ⁡ A - sen ⁡ B = 2  

2 ∙   sen ⁡ A - B 2 ∙ cos ⁡ A + B 2 =   2

2  cos ⁡ x = 2

 cos ⁡ x = 1

Bom, agora precisamos achar qual o ângulo cujo cosseno é 1. Esse ângulo é o zero e seus múltiplos, ou seja:

x = 2 k π

Resposta

x = 2 k π

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