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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 305

Resolva a equação

sin (x + (pi)/(4)) - sin (x - (pi)/(4)) = sqrt(2)

Passo 1

Ooie galerinha, tudo certo?

Para resolver esse sistema vamos utilizar a fórmula abaixo.

sen A - sen B = 2 * sen ((A - B)/(2)) * cos ((A + B)/(2))

Onde os coeficientes A e B do nosso sistema correspondem a: {[[A = x + (pi)/(4)],[B = x - (pi)/(4)]])

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as operações dentro dos argumentos das funções trigonométricas.

(A - B)/(2) -> [(x + (pi)/(4)) - (x - (pi)/(4))] * (1)/(2) = (2 ⃥ pi)/(4) * (1)/(2 ⃥) = (pi)/(4)

(A + B)/(2) -> [(x + (pi)/(4)) + (x - (pi)/(4))] * (1)/(2) = 2 ⃥ x * (1)/(2 ⃥) = x

Agora, substituindo esses valores:

2 * sen ((A - B)/(2)) * cos ((A + B)/(2)) =

2 * sen ((pi)/(4)) * cos (x)

2 ⃥ * (sqrt(2))/(2 ⃥) * cos (x)

sqrt(2) cos (x)

Passo 3

Ok! Colocando na equação final:

sin (x + (pi)/(4)) - sin (x - (pi)/(4)) = sqrt(2)

sen A - sen B = sqrt(2)

2 * sen ((A - B)/(2)) * cos ((A + B)/(2)) = sqrt(2)

sqrt(2) cos (x) = sqrt(2)

cos (x) = 1

Bom, agora precisamos achar qual o ângulo cujo cosseno é 1. Esse ângulo é o zero e seus múltiplos, ou seja:

x = 2 k pi

Resposta

x = 2 k pi

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