Resolva as equações em x .

(a) 2 < ln(x) < 9

Passo 1

Antes de tudo, vamos lembrar da notação:

ln ⁡ x = log e ⁡ e

E também da definição de logaritmo:

b x = y ⇔ x = log b ⁡ y

Passo 2

Além disso, para que possamos aplicar a definição dos logaritmos, é preciso saber que uma função do tipo f x = a x é crescente quando a > 1 e decrescente quando a < 1 . Por isso:

1ª situação) b x > y ⇔ x > log b ⁡ y b x < y ⇔ x < log b ⁡ y para b > 1

2ª situação) b x > y ⇔ x < log b ⁡ y b x < y ⇔ x > log b ⁡ y para b < 1

Passo 3

Com essas noções, agora podemos partir para a inequação. Para tornar a resolução mais simples, vamos dividir a desigualdade de 3 membros do enunciado em 2 desigualdades de 2 membros:

ln ⁡ x < 9

ln ⁡ x > 2

Passo 4

Agora sim, como estamos lidando com logaritmo neperiano (cuja base é

e = 2,7182 … ), nossas inequações se encaixam na 1ª situação do Passo 2, dessa forma, isolando o x nas duas, fica assim:

Na primeira: ln ⁡ x < 9 ⇔ x < e 9

Na segunda: ln ⁡ x > 2 ⇔ x > e 2

E aí ficamos com essas duas novas desigualdades

Passo 5

Agora que temos isolado o x nas duas desigualdades, apenas resta juntá-las numa só desigualdade de 3 membros para chegarmos na resposta.

x < e 9 , x > e 2

e 2 < x < e 9

Resposta

e 2 < x < e 9

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