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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 1.6 - Ex. 52a

Resolva as equações em x .

(a) 2 < ln (x) < 9

Passo 1

Antes de tudo, vamos lembrar da notação:

ln (x) = log_e (e)

E também da definição de logaritmo:

b^x = y <=> x = log_b (y)

Passo 2

Além disso, para que possamos aplicar a definição dos logaritmos, é preciso saber que uma função do tipo f (x) = a^x é crescente quando a > 1 e decrescente quando a < 1 . Por isso:

1ª situação) {[[b^x > y <=> x > log_b (y)],[b^x < y <=> x < log_b (y)]]) para b > 1

2ª situação) {[[b^x > y <=> x < log_b (y)],[b^x < y <=> x > log_b (y)]]) para b < 1

Passo 3

Com essas noções, agora podemos partir para a inequação. Para tornar a resolução mais simples, vamos dividir a desigualdade de 3 membros do enunciado em 2 desigualdades de 2 membros:

ln (x) < 9

ln (x) > 2

Passo 4

Agora sim, como estamos lidando com logaritmo neperiano (cuja base é

e = 2,7182 ... ), nossas inequações se encaixam na 1ª situação do Passo 2, dessa forma, isolando o x nas duas, fica assim:

Na primeira: ln (x) < 9 <=> x < e^9

Na segunda: ln (x) > 2 <=> x > e^2

E aí ficamos com essas duas novas desigualdades

Passo 5

Agora que temos isolado o x nas duas desigualdades, apenas resta juntá-las numa só desigualdade de 3 membros para chegarmos na resposta.

x < e^9 , x > e^2

e^2 < x < e^9

Resposta

e^2 < x < e^9

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