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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 20

Use o método de Euler com d x = 1 3   para estimar y ( 2 ) se y ' = x   s e n   y e y 0 = 1 . Qual é o valor exato de y ( 2 ) ?

Passo 1

O método de Euler consiste em calcular uma sequência de linearizações das funções para aproximar os valores das curvas em um intervalo, sendo y ' = f ( x , y ) . Como assim? Na prática, se temos um ponto x 0 ,   y 0 e queremos o valor para um x 1 = x 0 + d x , fazemos:

y 1 = y 0 + f x 0 , y 0 d x

E encontramos uma boa aproximação para o valor da função em x 1 . Fazemos isso sucessivamente, caso quisermos um valor para um x 2 = x 1 + d x , a gente faz:

y 2 = y 1 + f x 1 , y 1 d x

Até chegarmos ao valor que procuramos, sempre partindo de um valor conhecido.

Bom, então vamos lá!

Passo 2

Temos: x 0 , y 0 = ( 0 , 1 ) , d x = 1 3 e f x , y = x   s e n   y  

Observe que vamos chegar a x = 2 após 6 passos, partindo do zero, pois:

x 0 = 0 → x 1 = 1 3 → x 2 = 1 3 + 1 3 = 2 3 … → x 6 = 6 3 = 2

Aplicando o método, temos:

  • y 1 =   1 + 0   s e n   1 1 3 = 1
  • y 2 =   1 + 1 3 s e n   1   1 3 = 1,09350
  • y 3 = 1,09350 + 2 3 s e n   1,09350 1 3 = 1,29089
  • y 4 = 1,29089 + 3 3 s e n   1,29089 1 3 = 1,61125
  • y 5 =   1,61125 + ( 4 3 s e n   1,61125 1 3 = 2,05533  
  • y 6 =   2,05533 + 5 3 s e n   2,05533   1 3 = 2,54694

Essa é a estimativa para y ( 2 ) .

Passo 3

Vamos calcular o valor exato agora, partindo da equação diferencial:

y ' = d y d x =   x   s e n   y → d y s e n   y =   x   d x → csc ⁡ y   d y = x   d x  

Calculando a integral dos dois lados:

∫ csc ⁡ y   d y =   - ln ⁡ | csc ⁡ y + cot ⁡ y |  

∫ x   d x = x 2 2 + C

Voltando então, temos:

- ln ⁡ | csc ⁡ y + cot ⁡ y | =   x 2 2 + C

Usando a exponencial dos dois lados e desenvolvendo:

e - ln ⁡ | csc ⁡ y + cot ⁡ y | = e x 2 2 + C =   - ( csc ⁡ y + cot ⁡ y ) =   e x 2 2 + C = C e - 1 2 x 2 → 1 + cos ⁡ y s e n   y = C e - 1 2 x 2 → cot ⁡ y 2 =   C e - 1 2 x 2

Substituindo os valores do ponto:

cot ⁡ 1 2 = C e 0 = C = cot ⁡ 1 2

Escrevemos então a função y = 2 cot - 1 ⁡ ( cot ⁡ 1 2 )   e - 1 2 x 2 .

Aí é só jogar o valor de x = 2 para encontrar y ( 2 ) ...

y 2 = 2 cot - 1 ⁡ ( cot ⁡ 1 2 )   e - 1 2 2 2 = 2,65591

Resposta

Estimativa:   2,54694

Exato: 2,65591

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Use o método de Euler para resolver o problema de valor inicial no intervalo dado, começando em x 0 com d x = 0,1 . y ' = 2 - y 2 x + 3 , y - 3 = 1 ; - 3 ≤ x ≤ - 1 ;x 0 = - 3
Use o método de Euler para resolver o problema de valor inicial no intervalo dado, começando em x 0 com d x = 0,1 . y ' = y + cos ⁡ x, y 0 = 0 ;0 ≤ x ≤ 2 ;x 0 = 0
Use o método de Euler com o passo especificado para calcular o valor da solução no ponto dado x*. Determine o valor da solução exata em x* y ' = 1 + y ² , y0 ,y 0 = 0 ² d x = 0,1 x * = 1
Use o método de Euler com o passo especificado para calcular o valor da solução no ponto dado x*. Determine o valor da solução exata em x* y ' = x y , y0 ,y 0 = 1 d x = 0,1 x * = 1
8. Use vários métodos e vários valores de h para encontrar y ( 2 ) sendo dado o PVI: y ' = cos ⁡ x + 1 y 0 = - 1