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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 74

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 71-76.

d r d θ = 3 cos 2 ⁡ π 4 - θ ,   r 0 = π 8  

Passo 1

Vamos começar passando pro outro lado o d θ :

∫ d r = ∫ 3 cos 2 ⁡ π 4 - θ d θ

Lembrando das relações trigonométricas:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Assim,

r = ∫ 3 1 + cos ⁡ 2 π 4 - θ 2 d θ

Separando em dois termos:

r = 3 2 ∫ d θ + 3 2 ∫ cos ⁡ π 2 - 2 θ d θ

Passo 2

Vamos resolver a integral agora:

r = 3 2 ∫ d θ + 3 2 ∫ cos ⁡ π 2 - 2 θ d θ = 3 θ 2 + 3 2 sin ⁡ π 2 - 2 θ π 2 - 2 θ '

r = 3 θ 2 + 3 2 sin ⁡ π 2 - 2 θ 0 - 2 = 3 θ 2 - 3 sin ⁡ π 2 - 2 θ 4 + C

Passo 3

Substituindo o ponto dado na função:

r 0 = π 8 = 3 ∙ 0 2 - 3 sin ⁡ π 2 - 2 ∙ 0 4 + C

C = π 8 + 3 sin ⁡ π 2 4

C = π 8 + 3 4 ∙ 1 = π 8 + 3 4

Fim!!!

Resposta

s = 3 θ 2 - 3 4 sin ⁡ π 2 - 2 θ + 3 4

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Em cada parte, use uma integral definida para encontrar a área da região e verifique sua resposta usando uma fórmula apropriada de Geometria.