A reta t é dada pela interseção dos planos x +y +z = 1 e 2 x + 3 y +z = 6 . Determinar o ponto de t cuja distância até a origem seja mínima.

Enunciado

Então galera, neste caso nós temos um problema de aproximação. E as condições serão:

Como nós queremos minimizar a distância vamos usar a fórmula:

Sabendo que são referentes ao ponto Substituindo:

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

Como a função a ser otimizada é nós podemos adaptar o nosso problema para que ele fique mais simples:

Colocando na fórmula de Lagrange:

Derivando L em relação às variáveis x, y, z, e e igualando as derivadas a zero:

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

Se igualamos a segunda e a terceira achamos:

Colocando na quarta equação:

Agora vamos substituir em x:

E em z:

Agora nós substituímos estes novos valores na última equação;.

Resolvendo nós achamos:

Com isso conseguimos achar y e z:

Qual será nosso ponto então?

Isso mesmo,

Beleza galera, finalizamos mais umaa !!